Möbiustransformation

Eine Möbiustransformation bezeichnet in der Mathematik eine konforme Abbildung der Riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst. Sie ist benannt nach August Ferdinand Möbius.

Die allgemeine Formel der Möbiustransformation ist gegeben durch

$\phi :z\to {\frac {az+b}{cz+d}},$

wobei $a,b,c,d$ komplexe Zahlen sind, die $ad-bc\neq 0$ erfüllen.

Die Gruppe der Möbiustransformationen

Die Menge aller Möbiustransformation bilden eine Gruppe: Die Hintereinanderausführung zweier Möbiustransformationen ist nämlich wieder eine Möbiustransformation, ebenso ist die inverse Abbildung einer Möbiustransformationen eine solche. Diese Gruppe ist isomorph zur $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )=\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$: Jede komplexe 2×2-Matrix mit Determinante ungleich 0 ergibt eine Möbiustransformation, und zwei solche Matrizen stellen genau dann die gleiche Transformation dar, wenn sie komplexe Vielfache voneinander sind. Da $\mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )$ komplex vierdimensional ist und eine Dimension herausgeteilt wird, besitzt die Gruppe der Möbiustransformationen die Dimension 3.

Möbiustransformation als Automorphismus der Riemannschen Zahlenkugel

Diese Art von Transformationen ist wichtig in der Funktionentheorie, da jede bijektive konforme Abbildung der komplexen Ebene (mit Unendlich) eine Möbiustransformation ist. Äquivalent dazu ist die Aussage, dass jede bijektive konforme Selbstabbildung der Riemann-Sphäre eine Möbiustransformation ist.

Aus diesem Grund ist die Gruppe der Möbiustransformationen auch genau die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raums $\mathbb {H} ^{3}$: Dieser besitzt als Rand im Unendlichen die Riemannsche Zahlenkugel. Eine Isometrie des hyperbolischen Raumes entspricht eindeutig einer konformen bijektiven Selbstabbildung des Randes im Unendlichen und umgekehrt.

Die Beziehung zwischen Rand im Unendlichen und hyperbolischen Raum sieht man am einfachsten im oberen Halbraummodell $\mathbb {C} \times [0,\infty )$.

Entsprechend erhält man die Isometrien der hyperbolischen Ebene $\mathbb {H} ^{2}$ als konforme Abbildungen der kompaktifizierten reellen Geraden ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Dies sind die reellen Möbiustransformationen, die wie oben nur mit $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ definiert sind.

Transitivitätseigenschaften

Eine Möbiustransformation wird eindeutig dadurch festgelegt, dass man für drei beliebige komplexe Zahlen die Werte der Funktion festlegt.

Die Gruppe der Möbiustransformation operiert scharf dreifach transitiv auf dem Körper der komplexen Zahlen (mit Unendlich).