Drehgruppe

Die Drehgruppe ist in der mathematischen Gruppentheorie die Gruppe, deren Elemente die Drehungen im dreidimensionalen Raum sind. Die Elemente der Drehgruppe kann man als $3\times 3$ Drehmatrizen realisieren. Unter Mathematikern wird sie mit SO(3) oder $\mathrm {SO} _{3}(\mathbb {R} )$ oder $\mathrm {SO} (3,\mathbb {R} )$ bezeichnet. Das S ist die Abkürzung für speziell und bedeutet, dass die Determinante einer jeden Matrix dieser Gruppe gleich 1 ist. Durch die Determinatenbedingung werden Spiegelungen ausgeschlossen. Das O steht für orthogonal und bedeutet, dass die Matrizen Orthogonale Matrizen sind. In einer Formel geschrieben:

$A^{-1}=A^{T}$.

Die 3 gibt natürlich die Dimension und das R besagt, dass die Einträge der Matrix reelle Zahlen sind.

Die Drehgruppe ist eine Lie-Gruppe. Eine Topologie bekommt die SO(3) in kanonischer Weise, als Matrixgruppe und dadurch ist auch ihre Liegruppenstruktur definiert. Die SO(3) ist eine kompakte topologische Gruppe.

Die Lie-Algebra der SO(3) ist die so(3). Sie ist eine reelle Form der Lie-Algebra sl(2,C).

Siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe.