Benutzer:Gunther/Tensorprodukt

Die Tensoralgebra

Zu einem Modul M über einem kommutativen Ring R mit Einselement (also insbesondere auch zu einem Vektorraum über einem Körper) kann man die so genannte Tensoralgebra

$\mathrm {T} M=\bigoplus _{n\geq 0}M^{\otimes n}=R\oplus M\oplus (M\otimes M)\oplus \ldots$

bilden. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, bildet sie eine graduierte, assoziative, jedoch nicht kommutative R-Algebra.

Verwandte Konstruktionen

• Graßmann-Algebra oder äußere Algebra: Die äußere Algebra

$\bigwedge M=\mathrm {T} M/\langle a\otimes a\rangle$

ist der Quotient der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

$a\otimes a$

für Elemente a von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird

$a\wedge b$

geschrieben, und es gilt

$a\wedge b=(-1)^{\deg a\deg b}\cdot b\wedge a$

für homogene Elemente a, b. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te äußere Potenzen

${\bigwedge }^{k}M$

von M.

• Die symmetrische Algebra

$\mathrm {S} M=\mathrm {T} M/\langle a\otimes b-b\otimes a\rangle$

ist der Quotient der Tensoralgebra nach den zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

$a\otimes b-b\otimes a$

für Elemente a,b von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird durch Nebeneinanderschreiben oder einen Punkt symbolisiert. SM ist eine kommutative R-Algebra. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te symmetrische Potenzen S^kM von M.

Beispiele

Ist M ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, so ist TM isomorph zum Ring der nichtkommutativen Polynome in n Unbestimmten über K, die äußere Algebra über M ist eine 2ⁿ-dimensionale K-Algebra (die Dimension in Grad k ist $n \choose k$), und die symmetrische Algebra SM ist isomorph zu einem gewöhnlichen Polynomring in n Unbestimmten über K.