Vollkommene Zahl

Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl) genannt, wenn sie die Summe ihrer positiven echten Teiler (d.h. aller Teiler außer sich selbst) ist.

Beispiele

Die kleinsten Beispiele für vollkommene Zahlen sind 6 und 28.

• Die echten Teiler von 6 sind 1, 2 und 3. Ihre Summe ist $1+2+3=6$.
• Für 28 sind die echten Teiler 1, 2, 4, 7 und 14, so dass $1+2+4+7+14=28$ ist.

Berechnung von vollkommenen Zahlen

Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel

$2^{n-1}(2^{n}-1)$

berechnen lassen:

• Für n = 2: $2^{1}(2^{2}-1)$ = 6 = 1 + 2 + 3
• Für n = 3: $2^{2}(2^{3}-1)$ = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• Für n = 5: $2^{4}(2^{5}-1)$ = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• Für n = 7: $2^{6}(2^{7}-1)$ = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Euklid bewies, dass $2^{n}(2^{n+1}-1)$ immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn $2^{n}-1$ eine Primzahl ist, dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können.

Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn sie existiert, größer als 10³⁰⁰ ist und mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat.

Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen

Summe der reziproken Teiler

Die Summe der reziproken Teiler einer vollkommenen Zahl n (einschließlich der Zahl selbst) ergibt 2.

$\sum _{k\mid n}{\frac {1}{k}}=2$

Beispiel:

Für n = 6 gilt: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 12/6 = 2

Darstellung von Eaton (1995, 1996)

Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung

$n=1+{\frac {9}{2}}k(k+1)$

mit $k=8j+2$ und einer nicht-negativen ganzen Zahl j.

Umgekehrt erhält man nicht zu jeder natürlichen Zahl j eine vollkommene Zahl.

Beispiele:

j = 0 ergibt k = 2 und n = 28 (vollkommen).

j = 1 ergibt k = 10 und n = 496 (vollkommen).

j = 2 ergibt k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen).

Summe der ersten ungeraden, natürlichen Zahlen zur dritten Potenz

Mit Ausnahme von 6 lässt sich jede gerade vollkommene Zahl n mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als

$n=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)^{3}$

Beispiele:

$28=1^{3}+3^{3}$

$496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$

Summe der ersten natürlichen Zahlen

Jede gerade vollkommene Zahl n lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als

$n=\sum _{i=1}^{k}i={\frac {k(k+1)}{2}}$

oder anders ausgedrückt: Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl.

Beispiele:

$6=1+2+3={\frac {3\cdot 4}{2}}$

$28=1+2+3+4+5+6+7={\frac {7\cdot 8}{2}}$

$496=1+2+3+...+31={\frac {31\cdot 32}{2}}$

Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen

Eine k-vollkommene Zahl ist eine Zahl, deren Summe ihrer echten Teiler das k-fache der Zahl selbst ergeben. Jede k-vollkommene Zahl mit k > 1 ist abundant. Die vollkommenen Zahlen lassen sich als k-vollkommene Zahlen mit k = 1 auffassen.

Beispiel:

120 besitzt als echte Teiler die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und 60. Die Summe dieser Zahlen ergibt 240 = 2*120, womit 120 eine 2-vollkommene Zahl ist.

Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen

Abundante und defiziente Zahlen

Abundante Zahlen sind solche natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler σ^* größer als die Zahl selber ist. Defiziente Zahlen sind solche natürliche Zahlen, bei denen sie kleiner als die Zahl selber ist.

Befreundete und gesellige Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler σ^* der ersten Zahl die zweite und die der zweiten Zahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Die kleinere von ihnen ist abundant und die größere ist defizient.

Beispiel:

220 = σ^*(284) und 284 = σ^*(220) bilden das kleinste Paar befreundeter Zahlen.

Werden mehr als zwei natürliche Zahlen benötigt, um auf diese Weise wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen (engl. Sociable Numbers).

Beispiel für 5 gesellige Zahlen:

12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl $n$ heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.

Beispiel:

20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen, aber nicht vollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.

Alle pseudovollkommenen Zahlen sind entweder vollkommen oder abundant.

Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen bilden die primär pseudovollkommenen Zahlen: Sei $n$ eine zusammengesetzte Zahl und $P$ die Menge der Primteiler von $n$. Die Zahl $n$ heißt primär pseudovollkommen, wenn gilt: $n=1+\sum _{p\in P}{\frac {n}{p}}$.

Äquivalent dazu ist die folgende Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl $n$ mit der Menge der Primteiler $P$ ist genau dann primär pseudovollkommen, wenn gilt: $\sum _{p\in P}{\frac {1}{p}}+\prod _{p\in P}{\frac {1}{p}}=1$. Daran zeigt sich die enge Beziehung der primär pseudovollkommenen Zahlen zu den Giuga-Zahlen, die durch $\sum _{p\in P}{\frac {1}{p}}-\prod _{p\in P}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N}$ charakterisiert sind.

Die kleinsten bekannten primär pseudovollkommenen Zahlen sind:

• 6 = 2 * 3
• 42 = 2 * 3 * 7
• 1806 = 2 * 3 * 7 * 43
• 47.058 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31
• 2.214.502.422 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059
• 52.495.396.602 = 2 * 3 * 11 * 17 * 101 * 149 * 3109
• 8.490.421.583.559.388.410.706.771.261.086 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059 * 2.217.342.227 * 1.729.101.023.519

Eigenschaften der primär pseudovollkommenen Zahlen:

• Alle primär pseudovollkommenen Zahlen sind quadratfrei.
• Die Zahl 6 ist die einzige primär pseudovollkommene Zahl, die zugleich vollkommen ist. Alle weiteren primär pseudovollkommenen Zahlen sind abundant.
• Es existieren nur endlich viele primär pseudovollkommenen Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren.
• Es ist nicht bekannt, ob es unendlich primär pseudovollkommene Zahlen gibt.

Merkwürdige Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig, wenn sie abundant, aber nicht pseudovollkommen ist. Sie lässt sich also nicht als Summe einiger ihrer echten Teiler darstellen, obwohl die Gesamtsumme die Zahl n übersteigt.

Beispiel: Die Zahl 70 ist die kleinste merkwürdige Zahl. Sie kann nicht als Summe von Zahlen aus der Teilermenge {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35} geschrieben werden. Die nächsten merkwürdigen Zahlen sind 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430.

Eigenschaften:

• Es existieren unendlich viele merkwürdige Zahlen.
• Alle bekannten merkwürdigen Zahlen sind gerade. Es ist unbekannt, ob eine ungerade merkwürdige Zahl existiert.

Weblinks

• Perfect Number -- from MathWorld (englisch)
• Vollkommene Zahlen und Mersenne-Zahlen