Kreiszahl

Pi ist der 16. Buchstabe des griechischen Alphabets. Großbuchstabe: Π Kleinbuchstabe: π In seiner Verwendung als Ziffer bei den Griechen hatte der Buchstabe den Wert 40. (Siehe: Griechische Zahlen).

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Die moderne Zahl Pi (symbolisiert durch "π", näherungsweise 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383...), auch Archimedes' Konstante oder Ludolphsche Zahl (Ludolph van Ceulen, s.u.) genannt, drückt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser aus. Alternativ kann man π definieren als die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1 oder als das Doppelte der kleinsten positiven Zahl x, für die cos(x) = 0 gilt.

Formeln, die π enthalten:

• Umfang eines Kreises mit Radius r: U = 2 π r
• Fläche eines Kreises mit Radius r: F = π r²
• Volumen einer Kugel mit Radius r: V = (4/3) π r³
• Oberfläche einer Kugel mit Radius r: O = 4 π r²

Formeln der Analysis, die π enthalten:

• 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = π² / 6 (Euler)
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$
• n! ≈ (2 π n)^1/2 (n/e)ⁿ (Stirlingsche Formel für große n)
• e^π i + 1 = 0 (Eulersche Identität)

Formeln der Physik, die π enthalten

• Δx Δp ≥ h / (4π) (Heisenbergsche Unschärferelation)
• ω = 2 π f (Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit gleich 2 π mal Umlauffrequenz)

Irrationalität & Transzendenz

Die Zahl π ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, etwa als a/b (üblicherweise Bruch genannt). Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten gibt, deren Wurzel (Nullstelle) π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Dies wurde von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge ist auch, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Näherungen

Da es somit keine einfache Formel für π gibt, müssen wir für diese Zahl Näherungen benutzen. Diese Näherungswerte und -verfahren waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften (Ingenieurbau etc.) sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits soviele Stellen, dass man nicht mehr von praktischen Nutzen sprechen kann.

Ludolph van Ceulen (c1600) hat die ersten 35 Dezimalstellen berechnet. Er war so stolz darauf, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ.

Wallissches Produkt (1665):

2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9 * ... = π/2

Leibniz' Formel (1671):

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... = π/4

Formel von Srinivasa Ramanujan (1914):

${\frac {\sqrt {8}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!*(1103+26390n)}{(n!)^{4}*396^{4n}}}={\frac {1}{\pi }}$

Keine der oben angegebenen Formeln kann zur effizienten Berechnung von Näherungswerten von π dienen. Für schnelle Berechnungen kann man Formeln wie etwa die von Machin (1706) verwenden:

4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4

zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion. Diese Formel wird sofort klar, wenn man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen angibt, beginnend mit

(5+i)⁴ · (-239 + i) = -114244-114244 i.

1996 hat David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Formel für π entdeckt:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

Diese Formel erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von π zu berechnen, ohne dass man zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnen muss. http://www.nersc.gov/~dhbailey/ ist Baileys Webseite und enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementationen in verschiedenen Programmiersprachen.

Merkregel

Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt:

Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender:

Wie, o dies π

Macht ernstlich so vielen viele Müh,

Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,

Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!

Kürzer ist:

Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!

Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Eloge:

Now I, even I, would celebrate

In rhymes unapt, the great

Immortal Syracusan, rivaled nevermore,

Who in his wondrous lore,

Passed on before

Left men his guidance

How to circles mensurate.

Zu guter letzt geht es auch (allerdings wiederum englisch) durstig:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.

Offene Fragen

Die drängendste Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-adischen) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält, so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

Bailey und Crandal haben 2000 gezeigt, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.

Anwendungen

Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie.

Siehe Algebra, Analysis, Geometrie, Trigonometrische Funktion, Zahlentheorie

Kurioses

Im Jahre 1897 gab es im US Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf mit dem die Zahl Pi per Gesetz nicht nur als 3.2 sondern nebenbei gleichzeitig auch als 4, 3.25 und 3+1/7 definiert werden sollte. Das Gesetz passierte jedoch (nur wegen eines Formalfehlers) nie die zweite Kammer des Parlaments.

Die ersten eine Million Ziffern von π und ¹/_π sind als Datei beim Projekt Gutenberg erhältlich.

Der derzeitige Rekord der Berechnung von Pi wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI Supercomputer mit 1,241 Billionen Stellen gehalten.

Der aktuelle Rekord im Auswendiglernen von Pi-Nachkommastellen liegt bei 42195. Aufgestellt am 18.02.1995 vom Japaner Hiroyuki Goto. Den deutschen Rekord hat Ulrich Voigt am 02. Juni 2003 auf 5000 erhöht.

Weblinks

• Geschichte der Zahl Pi
• eine Seite über die Zahl Pi mit einigen Bildern und vielen Links
• http://www.cecm.sfu.ca/pi/index.html
  • sehr ausführliche englische Pi Seite
• Freunde der Zahl Pi
• The Pi-Search Page: Ziffernfolgen innerhalb von Pi suchen
• Weltrangliste der PI-Auswendiglerner

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