Vierervektor

Ein Vierervektor ist ein Vektor mit 4 Komponenten, in dessen Definition die Lorentztransformation eingeht. Ein Vierervektor ist ein Tensor 1. Stufe.

Lorentztransformationen geben an, wie bestimmte Ereignisse von einem ruhenden im Vergleich mit einem bewegten Beobachter gesehen werden, z.B. sind die Zeitdilatation und die Längenkontraktion das Ergebnis von Lorentztransformationen. Der Bereich, in dem sich ein Beobachter befindet, wird auch als Bezugssystem bezeichnet.

Bezugssysteme sind z.B. die Erde oder ein Raumschiff, das sich relativ zur Erde bewegt. Es kann sich aber auch um ein Labor oder ein Elektron handeln, das in diesem Labor eine kreisförmige Bahn beschreibt.

Im folgenden wird gezeigt, wie Vierervektoren in verschiedenen Bezugssystemen dargestellt werden, und wie diese Darstellungen mit der Lorentztransformation zusammenhängen.

Seien S und $S'$ Inertialsysteme. Man kann sich so ein Inertialsystem vereinfacht als eine Plattform vorstellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den (leeren) Raum bewegt. Auf jeder dieser Plattformen befindet sich ein Beobachter. Ein Ort auf der Plattform S werde durch die Koordinaten x,y, eine bestimmte Höhe durch die Koordinate z beschrieben. Der Beobachter hat eine Uhr, die die verstrichene Zeit t misst.

Um die Koordinaten x,y,z eindeutig festzulegen, bezeichnen sie im folgenden Abstände vom augenblicklichen Standort des Beobachters. Der Beobachter ruht auf der Plattform, er befindet sich nach dieser Beschreibung im Ursprung des Koordinatensystems. Das System des ruhenden Beobachters wird mit S bezeichnet. Die räumliche Ausdehnung des Beobachters ist für die folgenden Überlegungen nicht wichtig, somit wird angenommen, dass er sich am Ort mit den Koordinaten x=0 und y=0 befindet.

Ein Ereignis in dem System S wird durch die Koordinaten x,y,z,t beschrieben. Ein solches Ereignis ergibt sich z.B. wenn der Beobachter eine Kerze anzündet. Es geschieht zu einer Zeit t, die Kerze befindet sich dann in einer Höhe z über dem Boden der Plattform, und da sie vom Beobachter angezündet wird, am Standort des Beobachters, d.h. es ist x=0 und y=0.

Relativ zu diesem Beobachter bewege sich eine andere Plattform $S'$ mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf der Plattform $S'$ befinde sich ein anderer Beobachter. Er befindet sich relativ zu seiner Plattform in Ruhe und er verwende die Koordinaten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle x´,y´,z´,t´} .

Es wird angenommen, dass sich der Beobachter in $S'$ im Ursprung seines Koordinatensystems befindet und dass die beiden Koordinatensysteme zum Zeitpunkt $t=t'=0$ deckungsgleich waren.

Ortsvektor

Der Ortsvektor des Systems S beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten x,y,z eines Ereignisses.

In kontravarianter Darstellung sieht er folgendermaßen aus: $(x^{k})=(ct,x,y,z)$ und in kovarianter Darstellung: $(x_{k})=(ct,-x,-y,-z)$

Man verwendet die Darstellung ct anstatt t für die Zeitkoordinate, da dann ct und x,y,z die gleiche physikalische Dimension haben. c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Dass $(x^{k})$ ein Vierervektor ist, ergibt sich auf Grund seines Transformationsverhaltens unter Lorentztransformationen.

Für eine eindimensionale Bewegung des Systems $S'$ mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von S ergibt sich z.B. folgendes Transformationsverhalten:

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},y'=y,z'=z,ct'={\frac {ct-{\frac {xv}{c}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Die genauere Begründung hierfür ergibt sich aus der Gestalt der Lorentztransformation. Da sich die Komponenten t,x,y,z entsprechend der Lorentztransformation in $t',x',y'z'$ transformieren, ist $(x^{k})$ ein Vierervektor.

Die Bedeutung dieser Transformation ist folgende: misst ein Beobachter in S für ein Ereignis in $S'$ eine Zeitdifferenz $t_{1}-t_{2}$, so misst der Beobachter in $S'$ für das gleiche Ereignis die Zeitdifferenz $t_{1}'-t_{2}'$. Dabei werden $t_{1}'$ und $t_{2}'$ entsprechend der oben angegebenen Transformation berechnet.

Für jeden der beschriebenen Beobachter bewegt sich das andere System, während er sich relativ zu seinem System in Ruhe befindet. Entsprechend der allgemein gebräuchlichen Konvention wird S als das ruhende, $S'$ als das bewegte System betrachtet.

Geschwindigkeitsvektor

Der Vierervektor der Geschwindigkeit $(u^{k})$ ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors $(x^{k})$ nach der Eigenzeit $d\tau$.

$(u^{k})={\frac {d}{d\tau }}(x^{k})$

In dem Kapitel über Zeitdilatation wird die Bedeutung der Eigenzeit beschrieben.

Da der Ortsvektor bereits ein Vierervektor ist, folgt hieraus, dass auch der Geschwindigkeitsvektor ein Vierervektor sein muss.

Genauere mathematische Begründungen findet man in der Literatur über Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie (vgl. die Literaturhinweise am Ende des Artikels).

Im folgenden wird gezeigt, wie sich der Geschwindigkeitsvektor aus dem Ortsvektor berechnen lässt:

Der Ortsvektor wird folgendermaßen dargestellt: $(x^{k})=(ct,x,y,z)$

Die Eigenzeit ist folgendermaßen definiert: $d\tau =dt{\sqrt {(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}}$

Die Relationen zwischen der Eigenzeit $d\tau$ eines bewegten Systems und der Zeit dt eines ruhenden Beobachters können folgendermaßen geschrieben werden

$dt=\gamma d\tau$ bzw. $d\tau ={\frac {1}{\gamma }}dt$ mit $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Dabei wurde die in der Speziellen Relativitätstheorie verwendete Größe $\gamma$ eingeführt.

Mit diesen Voraussetzungen lässt sich nun der Vierervektor der Geschwindigkeit berechnen: $(u^{k})={\frac {d(x^{k})}{d\tau }}=({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {dx}{d\tau }},{\frac {dy}{d\tau }},{\frac {dz}{d\tau }})=\gamma (c,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}})$

Mit den bisher betrachteten Vierervektoren lässt sich die relativistische Mechanik beschreiben (Viererimpuls, Viererkraft). Eine weitere Anwendung der Vierervektoren (insbesondere in der Gestalt von Differentialoperatoren) findet man in der relativistischen Quantenmechanik (Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung).

Literatur

• T.Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie, BI Wissenschaftsverlag, 1990 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie)
• Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, 1989