Modul (Mathematik)

Links- oder Rechts-Modul

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings

umfasst als Spezialfälle

Ring (Modul über sich selbst) kommutativer Modul Vektorraum

Ein Modul (auf der ersten Silbe betont; Plural: Moduln) ist eine algebraische Struktur, die einem Vektorraum ähnlich sein kann. Man unterscheidet Links- und Rechtsmoduln.

Definitionen

• Seien $G=(G,+)$ eine abelsche Gruppe und $R=(R,+,\cdot )$ ein Ring. Dann ist $G$ zusammen mit einer Skalarmultiplikation $\cdot :R\times G\rightarrow G$ ein Linksmodul, wenn für alle $\alpha ,\beta \in R$ und $g,h\in G$ gilt:
  1. $(\alpha \cdot \beta )\cdot g=\alpha \cdot (\beta \cdot g)$ (Assoziativgesetz)
  2. $(\alpha +\beta )\cdot g=\alpha \cdot g+\beta \cdot g$ (Distributivgesetze)
  3. $\alpha \cdot (g+h)=\alpha \cdot g+\alpha \cdot h$

• Seien $G$ und $R$ wie oben, $\cdot :G\times R\rightarrow G$ und $G$ bilden analog ein Rechtsmodul.
• Ist R ein Ring mit $1_{R}$, und gilt zudem $1_{R}\cdot g=g$ bzw. $g\cdot 1_{R}=g$ für alle $g\in G$, so nennt man $G$ unitär. Unitäre Moduln sind Vektorräumen ähnlich.

Bemerkungen

• Ist $R$ kommutativ, so braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsmoduln zu unterscheiden, da diese zueinander isomorph sind.

• Ist der Ring $R$ ein Schiefkörper, dann bilden die Links- und Rechtsmoduln die Links- und Rechtsvektorräume von $R$.

• Ist der Ring $R$ sogar ein Körper, dann ist der $R$-Modul $G$ ein $R$-Vektorraum.

• Die Untersuchung der Eigenschaften von Moduln ist Gegenstand der Modultheorie.