Diskussion:Trägheitsmoment

Ist die Physikalische bezeichnung nicht eigentlich Massetgrägheitsmoment? -- RobbyBer 15:16, 14. Dez 2003 (CET)

Wie bitte kann ein Massepunkt ein Trägheitsmoment haben? Die Größe "r" existiert bei ihm - meines beschränkten Kenntnisstandes nach - gar nicht. 217.81.229.53 17:05, 1. Feb 2004 (CET)

r ist der Radius in dem sich ein Massepunkt und die Drehachse dreht, also existiert r für jeden Massepunkt. -- RobbyBer 17:46, 1. Feb 2004 (CET)

Okay, ich bin von r als Radius ausgegangen. Ich habe das jetzt mal im Artikel etwas verdeutlicht, hoffe ich.

Ich bin ebenfalls der Meinung, daß dieser Artikel Massenträgheitsmoment heißen sollte Hadhuey 16:45, 28. Jun 2004 (CEST)

Nein, so hieß es früher mal, jetzt nur mehr Trägheitsmoment! (siehe z.B.: Kuchling, Taschenbuch der Physik. S128 gogoolplex

Massenpunkt

Ich finde disesn Artikel ausgesprochen gut, denn er entspricht sowohl formal, als auch inhaltlich meinen Skripten und einschlägiger Fachliteratur: W. Greiner Mechanik 2, Tipler: Physik für Wissenschaftler und Ingeneure.. werde aber noch leicht wikifyen.

ein Massenpunkt kann nur dann dann einen Radius und Ein I=mr² haben, wenn er um eine Drehachse durch masselose Verbindungsstücke angebunden ist (Kräfte wie Grav, E-FEld)

I und J

Sollte das Trägheitsmoment nicht einheitlich mir I bezeichnet werden? Bei der Beispielen heißt es dann plötzlich J.

J ist die meistgenutzte Bezeichnung. I wird meist von fachfremden Personen genutzt. --130.83.72.245 15:39, 4. Sep 2006 (CEST)

Das kann ich nicht bestätigen. Ich bin definitiv nicht fachfremd (Promotion Physik) und habe in Vorlesungen und sonstiger Literatur mehrheitlich I kennengelernt. Ich biete den Feynman, die Boas, den Bronstein und wenn ich mich recht erinnere, auch den Landau-Lifschitz. Meinen Goldstein habe ich nach dem Vordiplom verschenkt. Von den 14 anders-sprachigen Wikipedias die mit diesem Artikel verlinkt sind, verwenden lediglich 2 ebenfalls J. Alle anderen benutzen einheitlich das I. Insbesondere sind die beiden physikalischen Leit-Sprachen Englisch und Russisch beim I. Ich würde es daher bevorzugen, wenn hier ebenfalls das I verwendet wird. In jedem Fall sollten solche internen Unstimmigkeiten in einem als lesenswert gekennzeichneten Artikel nicht vorkommen.---<(kmk)>- 04:11, 12. Sep 2006 (CEST)

Ich persönlich kann das 'J' nur unterstützen. Jedes mir erdenkliche, fachnahe Werk nutzt 'J' als Formelzeichen. Es widerstrebt mir allerdings Physiker als fachnahes Personal zu akzeptieren, da diese meist nur mit theoretischen Gebilden rechnen; nicht umsonst gibt es das Vorurteil, dass Physiker nicht nur weltfremd, sondern auch fachfremd sind. Daher ist deine Fachautorität nicht wirklich gegeben. Da in den Ingenieurwissenschaften hauptsächlich das Formelzeichen 'J' genutzt wird und diese wesentlich mehr Personen als die Physikersekte ansprechen plädiere ich für eine Beibehaltung des Buchstabens 'J'. -- 84.167.202.139 00:02, 1. Okt 2006 (CEST)

Auch wenn es Dir dreimal widerstrebt, ist das Trägheitsmoment ein Begriff der klassischen Physik. Er geht wie so vieles auf Newton zurück, den Du nicht mit gutem Gewissen als Ingenieur kennzeichnen würdest, oder? Das Argument der zahlenmäßigen Überzahl der Ingenieure kann ich nicht wirklich ernst nehmen. Mit dem gleichen Argument müsste Ethanol in Wikipedia durchgängig "Alkohol" heißen, weil zweifellos mehr Leute die Chemikalie nur unter diese Bezeichnung kennen. Die von Dir angesprochenen Vorurteile gegenüber der Physik sind im übrigen genau das: Vorurteile. Dein Bild der Physik scheint auf die Theoretiker beschränkt zu sein. Mache Dich mit der Tatsache vertraut, dass die experimentelle Physiker nicht mit "theoretischen Gebilden" rechnen, sondern mit handfesten messbaren Effekten und Größen. Aber zur Sache: Die mir bekannten Schulbücher (Metzler, Dorn-Bader, Kuhn) verwenden ebenfalls das I. Es stünde der Wikipedia gut an, die Notation an die Bedürfnisse ihrer Leser, die in aller Regel kein Maschinenbau-Studium absolviert haben, anzupassen.---<(kmk)>- 03:09, 1. Okt 2006 (CEST)

Ich kann mich meinem Vorredner nur anschließen. Zumal es sich bei dem J ganz sicher nicht um ein Jota handelt, wenn man sich auf das lateinische iners (oder jners) bezieht. Im lateinischen sind I und J ein und derselbe Buchstabe. Auch üblich, insbesondere in deutscher Literatur, ist das Theta (direkt von Trägheitsmoment). Ich habe den Abschnitt über Formelzeichen die gröbsten Unstimmigkeiten beseitigt. --Jensel 01:44, 16. Sep 2006 (CEST)

Im Dubbel, dem Taschenbuch für den Maschinebau, wird das Massenträgheitmoment mit J und das Flächenträgheitsmoment mit I bezeichnet. Bei J wird über den Räum integriert, bei I über die Fläche. Ich würde hier gerne 2 Beispiele anbringen, doch habe ich keine Latex- Fähigkeiten.--Moewe 85 13:10, 24. Feb. 2008 (CET)

Das Flächenträgheitsmoment wird in einem getrennten Artikel ausführlich erklärt (und heißt dort auch I). Hier ist, wie aus der Einleitung hervorgeht, ausschließlich das Massenträgheitsmoment gemeint. Dafür gibt es in der Literatur verschiedene Bezeichnungen (J, I, $\Theta$, ...) und ich bin froh, dass so langsam wenigstens innerhalb des Atrikels einheitlich J für das Massenträgheitsmoment und I für den Trägheitstensor bzw. seine Elemente verwendet wird. Bitte nicht schon wieder die Nomenklatur durcheinanderbringen ... -- kwr 17:40, 24. Feb. 2008 (CET)

Korrektur

Habe die beiden Formeln ${\vec {L}}={\vec {\omega }}I_{\omega }$ und ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}={\dot {\vec {\omega }}}I_{\omega }$ herausgenommen, da sie nur für den Spezialfall von Drehungen um eine Hauptträgheitsachse gelten.

Auch die Bezeichnung Trägheitsmoment (beispielsweise über der Tabelle) ist nicht ganz richtig. Richtiger wäre Massenmoment 2.ten Grades. (siehe z.B. Technisches Taschenbuch INA)

Alle Lehrbücher und Nachschlagwerke, die mir über den Weg gelaufen sind, nennen es Trägheitsmoment, oder in veralteten Einzelfällen Massenträgheitsmoment. INA ist ja wohl der Kugellager, pardon, Wälzlagerhersteller, also Maschinenbauer-Umfeld. Kann schon sein, dass dort von Massenmomenten die Rede ist. Andererseits heißt die Größe auch im Dubbel Trägheitsmoment.---<(kmk)>- 04:33, 12. Sep 2006 (CEST)

Die Formel für den Drehimpuls muss unbedingt wieder rein, außerdem eine Formel für die Rotationsenergie - diese beiden Formeln sind doch überhaupt erst der Sinn, warum man ein Trägheitsmoment definiert! Nur die Formel für I anzugeben, aber nicht verraten, wofür mans braucht hilft doch nicht weiter --Amos12345 05:12, 12. Sep 2006 (CEST)

Zugegen, aber das unter Definition einzustellen, halte ich für eine bißchen übertrieben oder zumindest zu spezifisch. Ich habe den Abschnitt als Unterabschnitt des neuen Abschnitts Besondere Achsen eingefügt, etwas an Formeln beschnitten und an Text angereicht.--Jensel 01:49, 16. Sep 2006 (CEST)

Soll mir Recht sein, meiner Meinung nach ist das Trägheitsmoment zwar als Proportionalitätsfaktor zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls definiert (so zB in Demtröder und versch. Werken der theoret. Mechanik) und die Überschrift "definition" sollte illustrieren, dass nicht einfach aus jux sich jemand eine Größe "Summer über m_i mal abstand quadrat" ausdenkt und Trägheitsmoment nennt, sondern vielmehr am Anfang die Erkenntnis steht, dass L und omega zusammenhängen und dieser zusammenhang dann in der Größe "Trägheitsmoment" mündet. Ist halt die frage, was der Artikel bezwecken soll: Den Begriff Trägheitsmoment erklären, oder hauptsächlich seine Berechnung darstellen...--Amos12345 02:30, 16. Sep 2006 (CEST)

Erweiterungen

Habe dem Artikel um 2 Abschnitte hinzugefügt:

1. Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen durch den Schwerpunkt gehenden Achse

2. experimentelle Bestimmung eines Trägheitsmoments Lukas 18.Nov 2005

Ich habe deine Abschnitte etwas lesbarer gestaltet ;-). Ich bin allerdings der Meinung, die Herleitung vom Trägheitstensor auf die entsprechende Seite zu verbannen. In der Schule hört man glaub ich in den seltensten Fällen von einem solchen ;-). Die Herleitung ist zwar einfach, aber für Ottonormalphysiknutzer, der noch nix von Tensoren oder dem Delta-Symbol gehört hat, womöglich nicht sehr einleuchtend. – Jensel 16:05, 19. Nov 2005 (CET)

Danke für die Bearbeitung meiner Abschnitte. Allerdings müssen wir den Absatz über die Steiner-Regel überarbeiten. Dort steht nämlich: $I_{\mathrm {neu} }=I_{\mathrm {alt} }+mr^{2}$, wobei $I_{\mathrm {neu} }$ und $I_{\mathrm {alt} }$ die Trägheitsmomente bezüglich BELIEBIGER paralleler Achsen sein sollen. Das kann aber nicht stimmen, denn dann wäre $I_{\mathrm {neu} }$ immer größer als $I_{\mathrm {alt} }$. Das würde bedeuten: Egal, wohin man die Achse parallelverschiebt, das neue Trägheitsmoment wäre in jedem Fall größer, als das alte. Wenn man aber die Achse wieder an ihre ursprüngliche Position zurückverschiebt, muss sich wieder das alte Trägheitsmoment ergeben, und das funktioniert nicht, wenn sich das Trägheitsmoment bei jeder Verschiebung vergrößert. In Wirklichkeit lautet die Steiner-Regel: $I_{\mathrm {neu} }=I_{\mathrm {S} }+mr^{2}$, wobei $I_{\mathrm {S} }$ das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt bedeutet. - Lukas 19. Nov. 2005

Ups, peinlich, peinlich. Du hast natürlich recht, die Formel passt nicht zu dem Satz beliebiger Drehachsen. Für diese kann man zwar auch eine Formel angeben – einfach Achse auf Schwerpunkt schieben und dann an neuen Ort – man bezeichnet allerdings üblicherweise nur die Verschiebung von einer Schwerpunktachse als Steiner-Regel. – Jensel 21:23, 19. Nov 2005 (CET)

Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments

Weiß jemand, wie zum Beispiel das Trägheitsmoment der Erde bestimmt wird? Das Experiment mit der Drehscheibe funktioniert da ja nicht so gut. 16:00 12.12.05

Meine Idee wäre, die Gezeitenreibung zu benutzen. Die Eigenrotation der Erde wird ja bekanntlich durch den Mond abgebremst (Die Tage werden pro Jahrhundert um einige Millisekunden länger). Damit aber der Gesamtdrehimpuls erhalten bleibt, muss sich der Abstand Erde-Mond vergrößern (einige cm pro Jahr). Man rechnet sich daraus die Zunahme des Mondbahndrehimpulses aus, setzt ihn gleich der Abnahme des Eigendrehimpulses der Erde und bestimmt daraus mit Hilfe der Eigenrotationsgeschwindigkeitsänderung das Trägheitsmoment der Erde. Lukas 12.12.05 20:15

Um generell die Trägheitsmomente eines Kreisels zu bestimmen, können die Periodendauern von Nutations- und die Präzessionsbewegung benutzt werden. Leider bin ich weder Geophysiker noch Astronom, ich kann dir also nicht sagen, ob dieses für Himmelskörper genutzt wird bzw. praktibel ist.

Die expermentielle Bestimmung des Trägheitsmomentes von großen Körpern ist ein interessanter Punkt, der noch in den Artikel eingearbeitet werden könnte. Für kleine Körper kann übrigens neben dem Drehtisch auch ein Torsionspendel verwendet werden, welches nach dem gleichen Prinzip funktioniert. Außerdem kann die Drehtellermethode noch verfeinert werden, wenn man Messungen der Schwingungsdauer zu verschiedenen Abständen des Körpers zur Drehachse durchführt. Durch lineare Regression kann man so eine „vernünftige“ Messung inkl. Fehlerbereich bekommen. –Jensel 23:50, 8. Jan 2006 (CET)

Fitmachen für einen lesenswerten Artikel

Meiner Meinung nach hat dieser Artikel einen hohen Reifegrad erreicht: Er ist gut strukturiert und deckt im Wesentlichen alles ab, was man über das Trägheitsmoment sagen kann. Es sollte nicht mehr viel fehlen, um den Artikel wirklich „lesenswert“ zu machen. Einige Kleinigkeiten könnten jedoch noch ergänzt werden:

• Stichwort experimentelle Bestimmung: Wie oben bereits angesprochen, fehlt dem Artikel noch ein Hinweis auf die Bestimmung von Trägheitsmomenten von wirklich großen Körpern wie den Planeten unseres Sonnensystems. In der Geophysik hat dieser Punkt eine gewisse Bedeutung, da die Kenntnis des Trägheitsmoments Rückschlüsse auf die innere Dichteverteilung eines Planeten zuläßt (Kern, Mantel und sowas)
• Hauptträgheitsachsen: Sollten zumindest kurz erwähnt werden, bzw. auf jeden Fall verlinkt werden. Unter diesem Hinweis sollten auch die oben erwähnten aus dem Text entfernten Zusammenhänge mit Drehimpuls und Rotationsenergie wieder aufgenommen werden.

Nachtrag: Ich habe einen kurzen Abschnitt eingefügt, der allerdings sprachlich noch verbessert werden kann. Darüberhinaus denke ich nicht, dass wir hier tiefer in die Materie gehen sollten, da dass besser im Artikel zum Trägheitstensor, Kreisel und bis dato noch nicht vorhandenen Artikel zum Trägheitsellipsoiden aufgehoben ist. –Jensel 23:59, 27. Jan 2006 (CET)

• Weiterführende Literatur: Dieser Abschnitt sollte noch ausgebaut werden. Hier sei jeder aufgefordet, ein paar nützliche Weblinks zu suchen. Weiterhin sollten zumindest einige Bücher erwähnt werden, die das Trägheitsmoment verständlich (Metzler, Tipler & Co.) bzw. ausführlich/theoretisch (Fließbach oder dergleichen) behandeln. Es gibt sicherlich auch schon ein Wikibook zu dem Thema. Der Siehe-auch-Bereich am Ende kann z.Z. auf einen Eintrag (Flächenträgheitsmoment) gekürzt werden – der Rest steht bereits im Artikel oder hat nichts mit dem Thema zu tun. Vielleicht finden sich aber andere zum Thema passende Artikel in der Wikipedia, die noch nicht im Text auftauchen.

Nachtrag: Diesen Punkt habe ich weitestgehend abgearbeitet. Leider war mir bisher aber nicht möglich wirklich gute Weblinks aufzutreiben.–Jensel 15:38, 26. Feb 2006 (CET)

• Bilder: Sind immer gut. Vielleicht findet sich für die anschauliche Bedeutung eine gute Grafik z.B. von einem Eiskunstläufer oder eine Illustration von dem „Stuhlexperiment“ ;). Die Berechnung könnte durch eine Grafik aufgepeppt werden und die experimentelle Bestimmung vielleicht von einem Bild eines Drehtellers (dazu kann ich bei uns in der Physik mal mit ner Digiknipse in die Praktikumsräume laufen – deren Drehtisch ist aber natürlich ein Uraltmodell mit den typischen Praktikumsverschleißerscheinungen *g*).
• Zur Liste mit den Trägheitsmomenten: Ist zwar gut, sollte aber vielleicht ähnlich der englischen Wikipedia in einen seperaten Artikel ausgelagert werden, da sie im Verhältnis zu ihrem Informationsgehalt recht lang ist und den Fließtext unschön zerteilt. Über diesen Punkt kann man sicherlich noch streiten.
• Trägheitsmoment von Flüssigkeiten: Sind erwähnenswert, da bisher lediglich starre Körper betrachtet werden. Leider habe ich bisher keine Quellen gefunden, die das Thema behandeln. Wozu ich allerdings etwas schreiben könnte, wäre das nicht klassische Trägheitsmoment (NCRI – non classical rotational inertia) von suprafluiden Flüssigkeiten. –Jensel 23:59, 27. Jan 2006 (CET)

Das ist alles, was mir spontan so einfällt. Falls ihr noch weitere Ergänzungsvorschläge habt, so hängt sie doch an die Liste (bitte mit Namen und Datum via „--~~~~“ kenntlich machen).

Sollten die obigen Punkte (wie auch immer) aus der Welt geschafft sein, schlage ich vor, den Artikel einem Review-Prozess zu unterziehen, um auch verstärkt weniger physikalisch vorgebildeten Personen den Artikel Probelesen zu lassen. – Jensel 00:14, 16. Jan 2006 (CET)

Abgeschlossene Lesenswert-Diskussion

Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegungen beschreibt. Sie ist damit das Äquivalent zur (trägen) Masse der Translationsbewegungen.

• pro - kann in Richtung Exzellenz sicher noch einiges vertragen, im Sinne eines Enzyklopädieartikel halte ich ihn allerdings bereits für recht weit (wenn auch nicht in allen Schritten für omatauglich). -- Achim Raschka 17:34, 24. Feb 2006 (CET)
• pro - Schön geschriebener allgemeinverständlicher Artikel mit dem Niveau angemessenen Literaturangaben. Allerdings könnten noch ein paar Worte über den Trägheitsellipsoid verloren werden. --Morray noch Fragen? 20:28, 24. Feb 2006 (CET)
•  Pro Cottbus 05:38, 25. Feb 2006 (CET)
•  Pro Chhanser 18:38, 25. Feb 2006 (CET)
•  Neutral – Auch wenn es mich natürlich freut, dass ein Artikel zu dem ich selbst große Stücke beigetragen habe, als lesenswert empfunden wird, so möchte ich mich bei der Abstimmung vorerst enthalten. Aspekte, die dem Artikel noch hinzugefügt werden könnten, habe ich bereits vor einiger Zeit auf der Diskussionsseite angesprochen. Problematischer sehe ich aber die Omatauglichkeit, die ich selbst wegen meiner physikalischer Vorbildung leider nicht objektiv einschätzen kann. –Jensel 19:49, 25. Feb 2006 (CET)
•  Neutral Der Artikel ist schon sehr nah dran an lesenwert, aber er ist es noch nicht ganz. Die Formeln wir man schwerlich umgehen können bei einer physikalischen Größe, aber den Omatest schafft man so sicher noch nicht. Muss aber in diesem Fall vielleicht auch nicht. Der Abschnitt Bedeutung bedarf auf jeden Fall noch einer sprachlichen Politur: Bei den Beispielen muss die 1. Pers. Plural raus und Formulierungen wie "...auch ein sehr gutes Beispiel..." wirken unnötig POVig. --seismos 20:30, 25. Feb 2006 (CET) in Folge der Nachbesserungen jetzt  Pro --seismos 17:17, 26. Feb 2006 (CET)

Deine Kritik zum Anlass nehmend habe ich den Abschnitt über die Bedeutung ein bißchen poliert. –Jensel 15:14, 26. Feb 2006 (CET)

Sieht besser aus. Eine kleine Sache hab ich noch in der Beispielrechnung entdeckt: da steht ...mit dem Volumenelement dV und dem Abstand r*sin(theta)... Da muss der Sinus raus, denn der Abstand ist nur r. -- seismos 15:28, 26. Feb 2006 (CET)

Das sin(theta) ist in diesem Zusammenhang zwar richtig, aber höchst missverständlich, da r bei Kugelkoordinaten den Abstand von Ursprung, im Integral hingegen den Abstand von der Drehachse meint. Um das Problem zu umschiffen, habe die ganze Sache mit den Kugelkoordinaten näher ausgeführt. –Jensel 16:59, 26. Feb 2006 (CET)

Ja richtig, bin drauf reingefallen. Sieht jetzt gut aus. --seismos 17:17, 26. Feb 2006 (CET)

• Meine Oma würde den Artikel verstehen. Entschiedenes  Pro} -- Pingi 17:25, 28. Feb 2006 (CET)

•  Pro Meine Oma würde den Teil mit der höheren Mathematik sicher nicht mehr verstehen, aber das Thema ist m.E. kompliziert und im Artikel wird es verständlich dargestellt. --Joachim Köhler 18:17, 2. Mär 2006 (CET)

Formulierungen

Habe viele Formulierungen auf das Wesentliche reduziert und teilweise präzisiert. Denke der Artikel liest sich so besser.Ras al Ghul 18:01, 12. Mär 2006 (CET)

Bei der Berechnung von J(Kugel) hat man in Integralen falschen Grenzen bzw. falsche Werte eingesetz!!

Hallo unbekannter nichsignierender Hamburger "134.100.32.213",

Habe mir das mal angesehen, m.E. ist das ok. Was genau soll denn daran falsch sein ? -- kwr 12:44, 22. Feb. 2007 (CET)

Es ist jetzt korrigiert worden. War vorher nur aus didaktischen Gründen falsch! denn die Grenze für theta war von 0 bis 2pi! Habe verscuht das zu korrigieren, kenne aber nicht alle Befehle von Wikipedia editor :(

name bzw. überschrift

habe mir erlaubt, die überschrift mit Massen ! - Trägheitsmoment zu versehen, es gibt ja doch etliche Trägheitsmomente..... c.h.

Dennoch versteht man unter dem Trägheitsmoment praktisch immer das Massenträgheitsmoment (oder sollte es nicht korrekt Masseträgheitsmoment heißen?). Ich habe die Änderung etwas angepasst. Einen ähnlichen und weitaus häufigeren Konflikt hat man übrigens bei der Dichte, die eigentlich immer die Massedichte meint. --Jensel 01:07, 16. Sep 2006 (CEST)

Skalar oder Tensor?

Das Trägheitsmoment ist eigentlich kein Skalar, sondern ein Tensor (siehe Artikel zu Tensor: "Diese Richtungsabhängigkeit bedeutet, dass das Trägheitsmoment J eine tensorielle Größe ist"). Ich lösche deshalb das unwichtige, aber missverständliche "skalar" aus dem ersten Satz. --62.224.237.46 00:09, 23. Nov. 2006 (CET)

Einspruch. Der Trägheitstensor ist nicht identisch mit dem Trägheitsmoment. Ein Skalar ist eine Größe, die invariant unter Rotation oder Translation des Bezugssystems ist. Das ist für ein Trägheitsmoment der Fall. Egal welchen Koordinatenursprung man zur Beschreibung des Systems verwendet, es hat denselben Wert. Das Trägheitsmoment ist ganz klar ein Skalar. Diese Aussage ist auch relevant, denn sie unterstreicht den Unterschied zum Trägheitstensor. Ich mache daher einen Revert Deiner Änderung.---<(kmk)>- 01:35, 23. Nov. 2006 (CET)

Ich bin kein Physiker, aber das scheint mir unsinnig. Auch für eine feste Achse gibt es nicht eine skalare Größe, die den Trägheitstensor ersetzt, da die Richtung des Drehimpulses von der Rotationsachse abweichen kann.--Gunther 01:55, 23. Nov. 2006 (CET)

Hallo Gunther. Bei Drehung um eine feste Achse bewegen sich alle Massepunkte auf Kreisen, die die gleich orientiert sind. Daraus folgt, dass die Richtung des Drehimpulses in diesem Fall identisch mit der Richtung der Achse ist.---<(kmk)>- 00:13, 27. Nov. 2006 (CET)

Also ich (Physikus) seh' das so: "Das Trägheitsmoment" ist weder ein Skalar noch ein Tensor. Es ist ein Element des Tägheitstensors. Ich versuche mal anschaulich zu rekapitulieren, was ein Skalar/Vektor/Tensor ist: Diese Objekte (Tensoren 0., 1., 2. Stufe) sind "invariant" bei Rotationen des Koordinatensystems, aber die Darstellung eines Vektors oder Tensors in einem Koordinatensystem (einer Basis) sieht je nach Wahl der Basis anders aus, d.h. die Darstellung ändert sich in charakteristischer Weise bei Rotation des Koordinatensystems.

Beispiel (fürs Verständnis mit Zahlen garniert): Wir nehmen mal einen Quader im Koordinatensystem x-y-z mit Volumen V=L*B*H = 0,01 m³, Trägheitsmomenten J_x = 1 kgm², J_y = 2 kgm² und J_z = 3 kgm² bzgl. Rotation um die x,y,z-Achse. Außerdem haben wir noch eine Kraft von F_x = 1 N, F_y = 2 N, F_z = 3 N. Unstrittig ist jetzt sicher, dass die Kraft ein Vektor und das Volumen ein Skalar ist. Jetzt drehen wir das Koordinatensystem, der Einfachheit halber um 90° um die y-Achse. D.h. y-Achse bleibt, neue x'-Achse ist die alte z-Achse und neue z'-Achse ist die alte (-x)-Achse.

1) Volumen

Um das Volumen zu berechnen bilden wir die Differenz der Koordinaten der Quader-Kanten (x₁-x₂) etc. und multiplizieren diese. Das Produkt kommt in beiden Systemen zu 0,01 m³ raus. Das Volumen ist ein Skalar.

2) Kraft

Im gedrehten System sieht unser Kraftvektor so aus: F_x' = 3 N, F_y' = 2 N, F_z' = -1 N. Die Darstellung des gleichen Kraftvektors hat sich also in für Vektoren charakteristischer Weise geändert.

3) Trägheitsmoment(e)

Im gedrehten System hat unser Quader bei Rotation um die x',y',z'-Achse folgende Trägheitsmomente: J_x'=3 kgm², J_y'=2 kgm² und J_z'=1 kgm². Die Darstellung der Massenträgheitsmomente hat sich also in charakteristischer Weise geändert. Also kann z.B. das Massenträgheitsmoment J_x kein Skalar sein, sonst hätten wir noch den alten Wert.

Das hat nichts damit zu tun, dass das Massenträgheitsmoment bzgl. der "senkrechten Achse nach oben" immer noch 3 kgm² ist. Denn so eine Aussage gilt schließlich auch für den Kraftvektor: Auch die Kraftkomponente in Richtung der "senkrechten Achse nach oben" ist immer noch 3 N.

Also: Das Massenträgheitsmoment ist kein Skalar, auch kein Vektor, auch kein Tensor. Sondern es ist eine Komponente des Trägheitstensors. Deshalb wäre ich dafür, das "skalar" einfach weg zu lassen ...--kwr 13:23, 23. Nov. 2006 (CET)

Hallo kwr. Hier geht ja einiges durcheinander. Zunächst einmal ist ein Trägheitsmoment kein Element des Trägheitstensors, sondern bestenfalls dessen Eigenwert. Bei einer Koordinaten-Transformation muss man die Achse bezüglich der das Trägheitsmoment betrachtet wird, selbstverständlich ebenfalls transformieren. Sie ist schließlich durch zwei Vektoren definiert (den Einheitsvektor der Richtung und einen Ortsvektor auf einen Punkt der Achse). Diese Vektoren wechseln ihre Gestalt unter Koordinatentransformation in der bekannten Weise. Nachdem man die Darstellung der Achse und die Darstellung des Körpers der gleichen Koordinatentransformation unterzogen hat, erhält man für die Berechnung des Trägheitsmoments dasselbe Ergebnis wie vor der Transformation. Der allgemeine Beweis für diesen Zusammenhang ist nicht schwer und wurde uns Mitte des ersten Theo-Physik-Semesters vorgeführt (Hätte nicht gedacht, dass ich das nochmal ausgraben würde). Er läuft auf allgemeine Tensor-Rechenregeln und Eigenschaften der Dreh-Matrizen hinaus. Fazit: Ein Trägheitsmoment erfüllt in der Tat die Definition eines Skalars.---<(kmk)>- 00:36, 24. Nov. 2006 (CET)

Hallo KMK, vielen Dank für deine Hinweise. Sie haben mich dazu gebracht, auch mal meine "Klassiker" aus dem Regal zu holen. Wenn ich vorher noch der Meinung war, das"skalar" sei einfach überflüssig und missverständlich, weil es eben kein "richtiger" Skalar sei, dann bin ich inzw. der Meinung DAS MUSS RAUS, weil es ganz klar FALSCH ist.

1) Das Trägheitsmoment IST ein Element der Trägheitstensors (TT). Du verwechselst das mit den Hauptträgheitsmomenten, diese sind die Eigenwerte des TT. Ein Trägheitsmoment gibt es immer, auch bei Rotation um eine Nicht-Hauptträgheitsachse (zusätzlich sind dann natürlich noch die Nebendiagonalelemente, auch "Deviationsmomente" genannt, zu beachten). Trägheitsmomente heißen die Diagonalelemente des Tensors. Es ist also tatsächlich wie ich geschrieben habe: Das Trägheitsmoment ist ein Element der TT( genauer das Diagonalelement, das in einem System mit einer Achse in Richtung der Rotationsachse zu dieser Koordinatenachse gehört). Ich hatte gehofft, ich könnte mir diese ausfühliche Wiederholung aus der Mechanik-Vorlesung sparen ...

Quellen:

a) Wiki-Atrikel Trägheitstensor : "Man nennt die Diagonalelemente des Trägheitstensors Trägheitsmomente ..."

b) Landau-Lifschitz, Mechanik (Vieweg-Verlag, 1970, Seite 122): "Die Komponenten I_xx, I_yy, I_zz werden Trägheitsmomente bezüglich der entsprechenden Achsen genannt."

2) Wenn dir einer vorrechnet, dass sich im gedrehten System das gleiche Trägheitsmoment ergibt, wenn du auch die Richtung der Rotationsachse transformierst, so ist das eine prima Übungsaufgabe. Wenn das nicht so wäre, dann wären die Fundamente der Physik (Invarianz der Naturgesetze gegen Rotation => Drehimpulserhaltung!) erschüttert. Das schöne an solchen Aufgaben ist, dass man weiss was heraus kommen muss. Aber mit der Tensor-Natur des Trägheitsmoments hat das nichs zu tun, wie ich versuchte mit meinem Beispiel (Kraftvektor, der in Richtung der "senkrechten Achse nach oben" immer noch die Komponente 3 N hat) klar zu machen. Bitte nochmal lesen!

Um die Sache abzukürzen zwei Zitate aus den "Klassikern" meines Bücherregals (außer den oben genannten Quellen):

c) Bergmann-Schäfer, Bd.1, 10. Aufl., S. 95: "Das Trägheitsmoment ist kein Vektor (...), aber auch kein Skalar (...)." Das Trägheitsmoment ist ein Tensor."

d) Recknagel, Physik, 1.Bd. Mechanik, 8. Aufl.,S.209: "Die Größe, die wir als Trägheitsmoment bezeichnen, ist wesentlich komplizierter als eine skalare Körpereigenschaft, sagen wir beispielesweise die Masse."

Wenn dir das noch nicht reicht, dann schau noch im "Gerthsen" oder im "bekeley physics course" nach, dort steht das auch. Fazit: KMK gegen den Rest der Welt ... ?

--kwr 17:51, 24. Nov. 2006 (CET)

Hallo kwr. Deine Argumente überzeugen mich nicht.

• Wenn in der Darstellung eines Tensors eine bestimmte Größe steht, so heißt dies noch lange nicht, dass der Tensor diese Größe definiert. Insbesondere kann man daraus nicht schließen, dass diese Größe kein Skalar sei. Ein Gegenbeispiel ist der T_{ij}, bei dem die Energiedichte im oberen, linken Diagonal-Element zu finden ist. Nun ist die Energiedichte zweifellos ein Skalar.
• Ich habe oben bewusst "Darstellung eines Tensors" geschrieben. Ein Tensor selbst erstmal nur ein Operator, der auf Vektoren wirkt. Die Darstellung mit Zeilen und Spalten samt ihrer Einträge hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Für den Trägheitstensor ist zwar ein lineares Koordinatensystem üblich und normalerweise dem Problem angemessen. Man kann ihn aber auch in Kugelkoordinaten darstellen. In dieser Darstellung sind die Diagonal-Elemente nicht identisch mit Trägheitsmomenten um bestimmte Achsen.
• Bei fester Drehachse ist der Pseudovektor Drehimpuls proportional zum Pseudovektor Winkelgeschwindigkeit. Die Proportionalitätskonstante ist das Trägheitsmoment. Mit anderen Worten, es gilt: ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ Da sich ${\vec {L}}$ und ${\vec {\omega }}$ unter Koordiantentransforation gleich verhalten, kann das nur stimmen, wenn $I$ ein Skalar ist.
• Zu Deinen Quellen:

a) Wikipedia: Die Formulierung im deutschen WP-Artikel zum Trägheitstensor lässt es in der so erscheinen, als würde der Trägheitstensor die Trägheitsmomente definieren. In der englischen WP ist das Thema weniger zerrissen in einem gemeinsamen Artikel abgehandelt. Dort wird der Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und Trägheitstensor klar heraus gearbeitet. Nebenbei wird dort festgestellt, dass das Trägheitsmoment eine skalare Größe ist.

b) Landau-Lifschitz ist (natürlich) korrekt. Du zitierst es ja selbst -- "Trägheitsmomente bezüglich der entsprechenden Achsen". Das sagt allerdings genau gar nichts zum Thema Skalar, oder nicht.

c) Bergmann-Schäfer ist nicht gerade für saubere theroetische Darstellung bekannt. Man sieht es schon an Deinem Zitat. Dort wird kurzerhand das Trägheitsmoment mit dem Trägheitstensor gleichgesetzt.

d) Recknagel: Kenne ich nicht.

Mein persönliches Bücherregal bietet e) M. Boas "Mathematical Methods in the Physical Sciences". Auf Seite 441: "As indicated by the equation, L and $\omega$ are parallel vectors and I is a scalar."

Fazit: Bei festgelegter Roationsachse ist der Drehimpuls proportional zu Winkelgeschwindigkeit. Diese Proportionalitätskonstante wird Trägheitsmoment genannt und ist offensichtlich ein Skalar.---<(kmk)>- 00:05, 27. Nov. 2006 (CET)

...Ein Trägheitsmoment erfüllt in der Tat die Definition eines Skalars. -> Um auch noch kurz auf diesen Punkt einzugehen. Ja, das ist richtig. Aber nur dann, wenn die Rotationsachse eines starren Körpers fix ist. Wenn man eine Kartoffel auf eine Nadel aufspießt und die Nadel zwischen den Fingern dreht, gibt es ein Trägheitsmoment, das sich mit dem Steinerschen Satz berechnen lässt und skalare Eigenschaften besitzt. Das ist das Trägheitmoment, das die meisten sich unter diesem Begriff vorstellen. Habe ich den allgemeinen Fall, dass ich die Kartoffel durch die Luft schmeiße und diese fröhlich vor sich hin rotiert (ohne Lagerung) habe ich plötzlich den Fall, dass ihr Drehimpuls zum Vektor wird (ich habe ja keine fixe Achse mehr), welcher sich aus dem Trägheitstensor (zweiter Stufe) und dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ergibt. Ob jetzt die (Diagonal-)Komponenten des Trägheitstensors (der ja in zig Koordinatensystemen exisitert) ebenfalls Trägheitsmoment heißen...ich habe keine Ahnung. Verbunden mit dem Begriff hätte ich nur noch die Hauptträgheitsmomente, die ja in der Diagonalen stehen wenn ich den Trägheitstensor entsprechend transformiere.

Die Frage ob Skalar oder nicht kann doch nur in Verbindung mit der Randbedingung fixe Drehachse oder nicht beantwortet werden. Meine bescheidene Meinung dazu.Ras al Ghul 16:47, 26. Nov. 2006 (CET)

Hallo Ras al Ghul. Volle Zustimmung. Wenn Drehimpuls und momentane Winkelgeschwindigkeit nicht parallel sind, dann muss man den Trägheitstensor verwenden.---<(kmk)>- 00:05, 27. Nov. 2006 (CET)

Hallo! Sobald Du "noch irgendwas dazu spezifizieren musst" (hier z.B. die Richtung der Drehachse) ist das "Ding" kein Skalar mehr. Denn nicht jede phys. Größe, die aus nur einer Zahl (und Einheit) besteht, ist deshalb auch gleich ein Skalar (es könnte z.B. auch eine Komponente eines Vektors sein). Genauso ist nicht jeder 3-er-Pack von Zahlen gleich ein Vektor. Skalare und Vektoren müssen sich bei Transformationen des Koordinatensystems (spez. bei Rotation) in bestimmter Weise verhalten. Skalare müssen z.B. invariant gegen Rotaionen sein. Wir wollen bei Wikipedia auch nicht notwendigerweise das reinschreiben, was "die meisten sich unter diesem Begriff vorstellen", sondern wissenschaflich exakte und anerkannte Fakten (die dann auch noch so erklärt werden sollten, dass auch der Nicht-Fachmann etwas davon hat).

Das Lexikon der Physik (Spektrum Verlag) definiert Skalar so: "Skalar, 1) durch eine Zahlengabe vollständig charakterisierte Größe, z.B. Masse, Temperatur usw. " . Das ist zwar keine besonders elegante Definition, aber jedenfalsl fällt das Trägheitsmoment nicht darunter. --kwr 21:37, 26. Nov. 2006 (CET)

Hallo kwr. Einspruch gegen Deinen ersten Satz. Du sagst es ja selbst: Ein Skalar ist eine Physikalische Größe, die unter Koordinatentransformation unverändert bleibt. Daraus folgt mitnichten, dass sie durch eine einzige Zahl eindeutig definiert sein muss. Das ist zwar häufig der Fall, aber eben nicht immer. Die Definition des Spektrum-Verlags stimmt leider nicht mit dem überein, was im Studiengang Physik gelehrt wird. Ich werde es mir merken als Beispiel dafür, dass auch traditionelle Lexika irren.---<(kmk)>- 00:05, 27. Nov. 2006 (CET)

Die Sache scheint verfahren. :-)

Ich hab mich noch mal beim Bronstein schlau gemacht, dem ich bzgl. präziser Formulierungen eigentlich immer vertraue. Der definiert Skalar so:

„Größen, deren reelle Werte Zahlen sind, werden Skalare genannt. Bsp. sind Masse, Temperatur, Energie und Arbeit. Im Unterschied dazu werden Größen, zu deren vollst. Charakterisierung sowohl eine Maßzahl als auch eine Richtung und manchmal ein Drehsinn im Raum erforderlich sind Vektoren genannt. (Dem werden vermutlich alle zustimmen)“

Und dann kommt das, was m.E. den Unterschied macht: „Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung des Koordinatensystems den gleichen Wert behält. „

Also: Masse, Temperatur, Energie und Arbeit sind gleichzeitig Skalare als auch („zufällig“) skalare Invariante. Daraus folgt aber im Umkehrschluss NICHT, dass alle Skalare auch skalare Invariante sind. Denn wozu sonst diese Definition?

Der Bronstein definiert einen Tensor nullter Stufe nämlich genau so: „Ein Tensor nullter Stufe hat nur eine Komponente, d.h. er ist ein Skalar. Da sein Wert in allen Koordinatensystemen gleich ist, spricht man von der Invarianz des Skalars oder vom invarianten Skalar.“

Die Komponenten eines Tensors beliebiger Stufe sind (so verstehe ich es, wobei ich nicht in Anspruch nehme Recht zu haben) im Prinzip nichts anderes als Skalare. Denn was unterscheidet das Ergebnis eines Vektorprodukts, das aus Multiplikation und Summe der einzelnen Komponenten entsteht, von einem Skalar? Nach m. M. nichts. Das wäre ja analog dazu, dass ich in der bloßen Mathematik dem Ergebnis 2*3+1*6-2*5=2 eine andere Bedeutung als der reinen Zahl 2 geben würde.

Also würde ich wie folgt zusammenfassen wollen: -Trägheitsmoment und Trägheitstensor sind zwei paar Schuhe. -Das Trägheitsmoment eines starren Körpers bezüglich einer fixen Achse ist eine reelle Zahl. (Plus natürlich die phys. Einheit. Ohne das Wort Skalar überhaupt in den Mund zu nehmen). Dabei besitzt jeder beliebige starre Körper drei Hauptträgheitmomente, um welche freie Rotation möglich ist. -Um das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer beliebigen Geraden zu berechnen, kann man den Trägheitstensor einführen. Dieser besteht in der Diagonalen (im kart. KOS) aus den Trägheitsmomenten bezüglich der gewählten Achsen und außerhalb aus Deviationsmomenten, welche verschwinden, wenn man den Trägheitstensor in das HAS transformiert.

Ich halte aber nichts davon zu behaupten, das Trägheitsmoment wäre ein Tensor zweiter Stufe. Ras al Ghul (nicht eingeloggt)

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Hallo!

Zuerst mal zu den Argumenten von KMK: Die Skalar-Def. des Lex.d.Phys. ist sicher nicht sehr gelungen. Das gute alte Lexikon der Physik vom DTV-Verlag (von 1971 - du siehst, ich bin schon ein paar Jahre in dem Metier tätig ...) schreibt: "Skalar, eine phys. Größe, die durch Angabe ihrer Zahl und der Einheit vollständig beschrieben ist." - Das ist praktisch die gleiche Definition wie bei Spektrum. Man kann sich dieser Def. aber "mit etwas gutem Willen" anschließen, wenn man die Aussage ".. durch eine Zahlenangabe vollständig charakt. Größe" so interpretiert, dass das bei einer Größe, deren Wert vom Koordinatensystem abhängt, eben nicht gilt. Anders herum: Aus der in der Physik üblichen Verwendung des "Skalars", als Größe die invariant bei Rotation des Koordinatensystesm bleibt, ergibt sich auch, dass ein einziger Wert genügt, um z.B. die Masse eines Körpers (unbestitten ein Skalar!) anzugeben. Man braucht dazu eben nicht zusätzlich z.B. eine Achsenrichtung angeben (wie im Falle des Massenträgheitsmoments).

Die Verwirrung kommt m.E. daher, dass viele Leute (Du wahrsch. nicht) eben prinzipiell glauben, was kein Skalar ist, müsste deshalb ein Vektor sein. Ich bin der Meinung, das Trägheitsmoment ist kein Skalar. Wenn man nun schreibt "... ist kein Skalar", dann führt das zu Fehlinterpretationen. Man muss also hinzufügen "... ist kein Skalar, aber auch kein Vektor, sondern ein Element eines Tensors".

Das Trägheitsmoment für beliebige Achsen ergibt sich eben wirklich aus dem Tensor. Niemand behauptet, es sei identisch mit dem Trägheitstensor. Vielleicht lest ihr einfach nochmal genau nach, was ich oben geschrieben habe. In beliebigen Koordinatensystemen ist das eine kleine Rechenübung (siehe Artikel Trägheitstensor, "Berechnung von Trägheitsmomenten aus dem Trägheitstensor"). In einem geschickt gewählten Koordinatensystem (rechtwinkligen Koord.syst., eine Koordinatenachse in Richtung der Drehachse) ergibt sich das Trägheitsmoment aber einfach gleich dem entsprechenden Diagonalelement des Tensors. In jedem (kartesischen) System sind die Diagonalelemente die Trägheitsmomente für die entsprechenden Achsen. Also: Das Trägheitsmoment ist ein Element des T-Tensors! Das kann man in zahlreichen Büchern (z.B. Landau-Lifschitz) auch so nachlesen- siehe oben.

Die Frage ist nun, ob man ein einzelnes Tensorelement als "Skalar" bezeichnen sollte. Wenn "Skalar" nur bedeutet "nur eine einzige Zahl", dann ja. Wenn Skalar aber bedeutet "invariant gegen Rotation der Koordinatenachsen" (wie in der Physik üblich), dann ist ein Tensorelement genausowenig ein Skalar wie die x-Komponente eines Vektors (die eben auch ganz andere Transformationseigenschaften hat).

Vielen Dank für dieses Beispiel von Dir:

"Bei fester Drehachse ist der Pseudovektor Drehimpuls proportional zum Pseudovektor Winkelgeschwindigkeit. Die Proportionalitätskonstante ist das Trägheitsmoment. Mit anderen Worten, es gilt: ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ Da sich ${\vec {L}}$ und ${\vec {\omega }}$ unter Koordiantentransforation gleich verhalten, kann das nur stimmen, wenn $I$ ein Skalar ist."

Das ist definitiv falsch. Leider ist es so, dass bei einem starren Körper, der nicht um eine Hauptträgheitsachse rotiert, nur die Winkelgeschw. die Richtung der Drehachse hat. Die Richtung des Drehimpulses ist davon verschieden. Wenn nun I eine lineare Abbildung von Omega zu L macht, dann geht das eben nur mit einem Tensor. Das ist absolut unbestritten und steht in jedem venünftigen Physik-Lehrbuch. Ich glaube kaum, dass man die an deiner Uni was anderes erzählt hat. Was man nun als Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse versteht (im Gegensatz zum ganzen T-Tensor) ist das Verhältnis der L-Komponente in Richtung der Achse zu Omega, und das ist eben genau wieder das entsprechende Tensorelement (in der passenden Darstellung), womit wir wieder bei meiner Aussage von oben wären ... Ich glaube, da musst du doch nochmal deine Skripten durcharbeiten ....

Zu den Zitaten:

Landau-Lifschitz (es geht um den Trägheitstensor): "Die Komponenten Ixx, Iyy, Izz werden Trägheitsmomente bezüglich der entsprechenden Achsen genannt." Was willst du da noch diskutieren. Die Diagonalelemente des TT heißen Trägheitsmomente, ich sage das Trägheitsmoment ist ein Element des Tensors - wo ist der Unterschied?

Zu Bergmann-Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik: Ich bin Experimentalphysiker, für mich ist nicht ein Buch schon schlecht, weil es nicht "theoretische Physik" heißt und der Bergmann-Schäfer ist nach wie vor ein sehr gutes Buch!

An Ras al Ghul: In der Mathematik kann durchaus eine leicht andere Definition von Skalar verwendet werden (es gibt auch zwei Wiki-Artikel dazu!). In der Physik wird Skalar so benutzt, wie du das im Bronstein als "skalare Invariante" gelesen hast. Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar. Der Trägheitstensor ist ein Tensor 2. Stufe, das Trägheitsmoment ergibt sich aus diesem bzw. (im passenden Koordinatensystem) ist ein Diagonalelement davon.

Leute, das wird mir inzwischen zu zeitaufwändig. Ich klinke mich hier aus und werde nur noch weiterdiskutieren, wenn sich andere Fachleute zu Wort melden und sich neue Gesichtspunkte ergeben. Wenn kmk dann in der Zwischenzeit einen "revert" macht, um das von ihm ehemals reingestellte "skalar" wieder hinein zu bekommen, dann müssen wir eben damit leben, dass in Wiki auch nicht immer alles richtig steht. So ist es eben ....(nicht signierter Beitrag von D-kw (Diskussion | Beiträge) ---<(kmk)>- 22:11, 27. Nov. 2006 (CET))

Hallo kwr.

• Die Dich störende Angabe der Achse ist nicht Teil des Wertes, sondern Teil der Definition um welche physikalische Größe es sich handelt. In gleicher Weise könnte man auch argumentieren, dass die Masse nicht nur aus einer Zahl, sondern aus einer Zahl und der Angabe des Volumens, von dem die Masse angegeben wird. Beim Trägheitsmoment kommt zwar hinzu, dass ein Körper nicht nur ein Trägheitsmoment hat, sondern viele. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass der Wert jedes einzelne dieser Trägheitsmomente durch eine einzelne Zahl angegeben wird.
• Mit "fester Achse" ist eine Achse gemeint, die relativ zu einem Inertialsystem fest ist und nicht bezüglich eines mit dem Körper mit rotierenden Koordinatensystems. Jeder einzelne Massepunkt des Körpers führt Kreisbewegungen um diese Achse aus. Sein Beitrag zum Gesamtdrehimpuls zeigt in Richtung der Achse. Die Summe all dieser Drehimpulse zeigt offensichtlich auch wieder in Richtung der Achse und L ist parallel zu $\omega$. Ich hoffe, damit ist dieses Missverständnis geklärt.
• Zu Landau-Lifschitz: Der Unterschied ist, dass Du es als Definitionsgleichung formulierst.
• Zum Bergmann-Schäfer: Natürlich ist das ein gutes Buch. Es eignet sich nur nicht als Referenz für theoretisch saubere Definitionen von Begriffen. In gleicher Weise würde ich den Bergmann-Schäfer nicht als Musterbeispiel für gute Typographie ansehen.

Übrigens gibt es mit dem Begriff Geschwindigkeit ähnliche Geschichte. Sie ist je nachdem in welchem Zusammenhang sie verwendet wird, ein Vektor, oder ein Skalar, nämlich der Betrag der vektoriellen Größe. Interessanterweise ist diese Doppeldeutigkeit eine Eigenschaft der deutschen Sprache. In Englisch unterscheidet man klar zwischen speed und velocity.

Mein Fazit bleibt weiterhin: Das Trägheitsmoment ist eine skalare Größe. Es gibt das Größenverhältnis von Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit bei Drehung um eine feste Achse an. Wer behauptet, es wäre kein Skalar, möge zeigen, dass der Zahlenwert dieses Größenverhälnis vom verwendeten Koordinatensystem abhängt.---<(kmk)>- 00:45, 28. Nov. 2006 (CET)

HAllo, also jetzt doch noch ein allerletzter Kommentar (hoffentlich vergess ich nicht wieder die Signatur ...)!

" .... Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass der Wert jedes einzelne dieser Trägheitsmomente durch eine einzelne Zahl angegeben wird."

=> Einzelne Zahl und Skalar sind zwei paar Stiefel!

"Mit "fester Achse" ist eine Achse gemeint, die relativ zu einem Inertialsystem fest ist und nicht bezüglich eines mit dem Körper mit rotierenden Koordinatensystems."

=> Hab ich kein Problem mit ...

"Jeder einzelne Massepunkt des Körpers führt Kreisbewegungen um diese Achse aus. Sein Beitrag zum Gesamtdrehimpuls zeigt in Richtung der Achse. "

=> Schlicht und einfach: Falsch. Bitte im Artikel Drehimpuls, Trägheitstensor oder im Physikbuch (Landau-Lifschitz, Kapitel "Der Drehimpuls des starren Körpers nachlesen". Dein Denkfehler: L ist durch das Vektorprodukt r x p definiert und der Vektor r ist für jeden Punkt anders. Bereits bei einem nicht richtig ausgewucheten Autorad ist L nicht mehr parallel zu Omega! Das lernen Physiker (und z.B. auch Maschinenbauer) eigentlich irgendwann im Grundstudium!

"Die Summe all dieser Drehimpulse zeigt offensichtlich auch wieder in Richtung der Achse und L ist parallel zu $\omega$. "

=> Ist demzufolge auch falsch. Wenn das so wäre, wozu bräuchten wir den Trägheitstensor ???

"Wer behauptet, es wäre kein Skalar, möge zeigen, dass der Zahlenwert dieses Größenverhälnis vom verwendeten Koordinatensystem abhängt."

Das habe ich nun schon oft genug begründet. Die Rechnung ist trivial. Die von dir erwähnte Übungsaufgabe, in der auch die Achsrichtung mittransformiert wird, hat damit nichts zu tun.

Ich würde jetzt wirklich mal vorschlagen, du arbeitest dich erst mal (wieder)in die Physik des starren Körpers ein, anstatt hier selbsterfundene Halbwahrheiten oder Falschheiten zu verbreiten (siehe Drehimpuls parallel zu Omega, Trägheitsmoment ist kein Element sondern ein Eigenwert des Trägheitstensors etc.).

Diese Diskussion hat groteske Züge angenommen. Wegen eines läppischen Wörtchens, das man um Missverständnisse zu vermeiden streichen sollte, machst Du ein Theater, als ob es darum ginge, dir das Gehalt zu halbieren. Also lass mal etwas abkühlen, lese am Wochennede mal in Ruhe in 3-4 Physikbüchern das Kapitel "Starrer Körper" und überlege dann noch mal ...

Tschau ... --kwr 02:03, 28. Nov. 2006 (CET)

Hallo kwr,

ich habe dir in meinen Beiträgen in keinem Punkt widersprochen und deinem am Beginn geäußerten Satz:

„Das Massenträgheitsmoment ist kein(e) Skalar(e Invariante), auch kein Vektor, auch kein Tensor. Sondern es ist eine Komponente des Trägheitstensors. Deshalb wäre ich dafür, das "skalar" einfach weg zu lassen“ stimme ich uneingeschränkt zu. Ich hatte mich nur gefragt (ohne dies in den Artikel eingetragen haben zu wollen), ob man die einzelnen Komponenten des Tensors nicht auch Skalare (in der strengen mathematischen Definition) nennen darf.

Mir gefällt auch der Begriff Komponente besser als das „Element“, welches jetzt noch im Artikel steht.

Ras al Ghul (nicht eingeloggt)

Hallo Ras al Ghul. Der Begriff "Komponente" scheint mir an dieser Stelle ebenfalls passender. Ganz korrekt wird es, wenn man es auf die Darstellung des Tensors und deren Basisvektoren als Achsen bezieht -- So wie im Landau-Lifschitz. Bin mir nicht sicher, ob man auch noch erwähnen sollte, dass dies nicht in allen Darstellungen der Fall ist (Beispiel Kugel-Koordinaten). So eine Darstellung wäre zwar möglich, man verliert aber die üblichen Vorteile der Matrix-Darstellung. Entsprechend verwendet man sie normalerweise nicht.---<(kmk)>- 01:23, 29. Nov. 2006 (CET)

Hallo kwr. Bei der Sache mit dem unausgewuchteten Rad habe ich implizit den über die Drehung gemittelten Drehimpuls betrachtet, ohne darüber ausdrücklich Rechenschaft abzulegen. Dass der momentane Drehimpuls nicht parallel zu $\omega$ liegt, ist klar. Die Lager bringen schließlich ständig Drehmomente auf und verdrehen dabei permanent die Richtung des Drehimpuls. Zurück zur Behauptung, das Trägheitsmoment wäre kein Skalar: Wir sind uns einig, dass das äquivalent ist zu der Aussage, dass sein Wert sich unter Koordinatentransformation ändert. Angesichts der Tatsache, dass die entsprechende Rechnung, wie Du sagst, trivial ist, kannst Du sicher das Ergebnis zu folgendem Beispiel angeben. Ein Voll-Zylinder, 1m Durchmesser, 1m Höhe, Masse 1 kg, hat bezüglich seiner Symmtrie-Achse im Schwerpunktsystem betrachtet, ein Trägheitsmoment von 0.5 kg m^2. Wie würde sich der Wert für das Trägheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse verändern, wenn man das Problem in einem Koordinatensystem beschreibt, dessen Ursprung 2 m neben der Achse auf Höhe des Zylinderbodens liegt, und um 90° gegenüber dem ursprünglichen Koordinatensystem gedreht ist? (Die Richtung der Drehung darfst Du Dir aussuchen)---<(kmk)>- 01:23, 29. Nov. 2006 (CET) PS: Dein Diskussionsstil ist recht unangehem. Du verweigerst die in WP übliche Formatierung. Du unterstellst mir, ich hätte keine Ahnung. Du verwendest Argumente "ad hominem". Du drohst mit Diskussions-Verweigerung. Im Sinne von "assume good faith" nehme ich an, dass Du Dir dessen nicht bewusst bist.---<(kmk)>- 01:23, 29. Nov. 2006 (CET)

Hallo kmk,

wenn ich mich, auch wenn die Frage nicht an mich gerichtet war, noch mal kurz einmischen darf. Die Lösung deiner Aufgabe ist klar. Aber die Grundsatzfrage ist eine andere. Um noch mal die schon oben angeführte Definition aus dem Bronstein zu zitieren: „Größen, deren reelle Werte Zahlen sind, werden Skalare genannt. Bsp. sind Masse, Temperatur, Energie und Arbeit. Im Unterschied dazu werden Größen, zu deren vollst. Charakterisierung sowohl eine Maßzahl als auch eine Richtung und manchmal ein Drehsinn im Raum erforderlich sind Vektoren genannt.“ und es ist eben die vollständige Charakterisierung um die es sich dreht. Neben einem expliziten, bereits auf eine Achse bezogenen Trägheitsmoment, existieren noch beliebig viele andere und deshalb ist das Trägheitsmoment, im Allgemeinen, kein Skalar. Es existiert nur mit Angabe der Achsrichtung (bei deinem Beispiel die Symmetrieachse des Zylinders) und in welchem KOS ich diese Achse und den Körper beschreibe ist belanglos, welche Achse ich wähle aber nicht. Um einen Vergleich zu bemühen: Natürlich kann man etwa eine mechanische Spannung (die man zuvor auf eine Schnittebene bezogen haben muss) skalar multiplizieren, aber der Spannungszustand in elastischen Körpern (wie der Trägheitszustand für beliebige Achsen) selbst, muss mit einem Tensor erfasst werden. Deshalb ist die Spannung kein Skalar. Der Gasdruck hingegen schon, denn der ist auf alle Oberflächen gleich. Ich denke das wollte kwr ausdrücken und diesbezüglich muss ich ihm auch Recht geben. Ras al Ghul (nicht eingeloggt)

Hallo Ras al Ghul. Deine Argumentation läuft darauf hinaus, das Trägheitsmoment als eine Eigenschaft zu definieren, die für alle Achsen gelten soll und je nach Achse in der Formel für den Drehimpuls mal diese und mal jenen Wert annimmt. Das ist aber gerade der Trägheitstensor. Diese Gleichsetzung halte ich persönlich zwar nicht für erhellend, habe aber inzwischen gelernt, dass das eine oder andere Lehrbuch so vorgeht. Wenn man dies für Wikipedia übernehmen will, sollte es ausdrücklich so gesagt werden und der Artikel Trägheitsmoment eine Weiterleitung auf Trägheitstensor werden. Wenn man aber das Trägheitsmoment als eigenständige Größe behandeln möchte, landet man bei einem Skalar. Der Drehimpuls ist übrigens auch so eine Größe zu der man eine zusätzliche Angabe braucht, um ihm einen Wert zu geben. Häufig nimmt man dafür den Schwerpunkt des betrachteten Systems. Der Bahndrehimpuls eines Teilchens zeigt aber, das das durchaus nicht immer sinnvoll ist. Nun ist der Drehimpuls kein Vektor. Dies liegt aber nicht an der Notwendigkeit einer zusätzlichen Angabe, sondern daran, dass er sich unter Rotation des Koordinatensystems "falsch" transformiert.---<(kmk)>- 17:11, 30. Nov. 2006 (CET)

Hallo kmk,

Gut, ein letztes Mal argumentiere ich noch.

…Nun ist der Drehimpuls kein Vektor…

->Tut mir leid, aber Richard Feynman (immerhin Nobelpreisträger und einer der herausragenden Physiker des 20. Jhd.), Lectures on Physics, Vol.I, 20-3, widerspricht dir da. Ich unterstelle einfach mal, dass dein Englisch gut genug ist:

Why is torque a vector? It is a miracle of good luck that we can associate a single axis with a plane, and therefore that we can associate a vector with the torque; it is a special property of three-dimensional space. In two dimensions, the torque is an ordinary scalar, and there need be no direction associated with it. in three dimensions, it is a vector…und weiter, als er zum Drehimpuls übergeht…Examples of pseudovectors are, of course, torque and the angular momen-tum…und weiter...Angular momentum of a solid body…If we take the x-, y-, and z-axes along the principal axes, and call the corresponding principal moments of inertia A, B, and C, we may easily evaluate the angular momentum and the kinetic energy of rotation of the body for any angular velocity w. If we resolve w into components wx, wy, wz along the x-, y-, z-axes, and use unit vectors I,j,k, also along x,y,z we may write the angular momentum as

L=A*wx*i+B*wy*j+C*wz*k (und das kann er genausogut als Tensorgleichung formulieren)

…Deine Argumentation läuft darauf hinaus, das Trägheitsmoment als eine Eigenschaft zu definieren, die für alle Achsen gelten soll und je nach Achse in der Formel für den Drehimpuls mal diese und mal jenen Wert annimmt. Das ist aber gerade der Trägheitstensor. Diese Gleichsetzung halte ich persönlich zwar nicht für erhellend, habe aber inzwischen gelernt, dass das eine oder andere Lehrbuch so vorgeht…

->Das ist nicht (nur) meine Argumentation, sondern die eines jeden Lehrbuchs, das ich kenne. Siehe wiederum Feynman:

…two quantities that are important in physics.(…there are more than two…). One of them, like the number of potatoes in a sack, we call an ordinary quantity, or an undirected quantity, or a scalar…All quantities that have a direction, like a step in space, are called vectors…In other words, any physical quantity associated with three numbers which transform (wenn man die Achsen wechselt) as do the components of a step in space is a vector.

Jetzt must du geistig nur noch den Schritt vom Vektor zum Tensor 2. Stufe machen. Eindeutiger geht es nun wirklich nicht. So leid es mir tut (und das meine ich nicht höhnisch), aber du bist schlicht im Unrecht. Ras al Ghul (nicht eingeloggt)

Hallo Ras al Ghul (Bist Du jemals eingeloggt?). Ja, mein Englisch sollte für den Feynman reichen. Insbesondere sagt es mir, dass in Deinem Zitat der Drehimpuls korrekt ein Pseudovektor genannt wird. Ein Pseudovektor, ist kein aber Vektor, denn es gibt keinen Vektorraum, dessen Element er sein könnte. Er transformiert sich anders als ein Ortsvektor. Es macht einen Unterschied, ob man von den Orts- und Geschwindigkeitsvektoren eines Systems den Drehimpuls ableitet und diesen mit der Inversionsmatrix multipliziert, oder ob man die Inversion auf die Orts- und Geschwindigkeitsvektoren loslässt und von den transformierten Vektoren den Drehimpuls berechnet.

Ich sehe nicht, wo Feynman in Deinem zweiten Zitat sagt, dass Trägheitsmoment mit dem Trägheitstensor gleichzusetzen wäre. Er sagt dort lediglich, dass alles, was sich wie ein Ortsvektor transformiert, eine vektorielle Größe ist. Die von Dir geforderte Erweiterung zur nächsten Stufe besteht offensichtlich in der Aussage, dass alles, was sich wie ein Tensor transformiert, eine tensorielle Größe ist. Das ist selbstverständlich wahr. Wir uns doch einig, dass in der Diagonale der Darstellung des Trägheitstensors die Trägheitsmomente bezüglich der Achsen der Darstellung stehen. Damit hat man aber schon verloren. Eine einzelne Zahl hat schlicht keine Chance, wie ein Tensor zu transformieren.---<(kmk)>- 21:00, 1. Dez. 2006 (CET)

Beliebige Achsen

Am 22.11.06 hat Benutzer:Mapra unter dem Titel "Axiales Trägheitsmoment für eine Achse in beliebiger Raumrichtung" eine längliche Formel und ein Diagramm eingefügt, die bis heute unverändert im Artikel steht (bis auf Änderungen der Nomenklatur). Hat jemand eine Quelle für genau diese Formel oder kann jemand diese Formel verifizieren ? Ich hab's probiert, komm aber auf ein anderes Ergebnis (was bei diesen Mengen an trig. Funktionen nicht weiter verwundert ...). Ich tendiere ansonsten dazu, das wieder raus zu nehmen.

--kwr 12:16, 30. Jan. 2007 (CET)

Hat sich erledigt. Meine Formel stimmte mit der von Mapra überein, lediglich hatte sich Maple geweigert, mir die Äquivalenz der beiden Formeln zu zeigen... Mit der Hilfe eines Mathematik-Prof. und Maple-Experten hat's jetzt doch noch geklappt: Formel ist ok.

--kwr 20:02, 3. Feb. 2007 (CET)

Redundanz

Müsste dieser Artikel nicht eigentlich mit Trägheitstensor zusammengelegt werden? --Pjacobi 01:00, 26. Mai 2007 (CEST)

Ergebnisse vertauscht?

Habe bei der Rotation eines Vollzylinders und eines Hohlzylinder um die Achse durch ihren Schwerpunkt, senkrecht zur Symmetrieachse genau entgegengesetzte Ergebnisse raus.Kann das mal jemand nachrechnen? Bastian Schnitzler

Hallo Bastian. Wenn man die Formeln für den vollen und für den Hohlzylinder in der Tabelle vertauscht, erhält man ein falsches Ergebnis. Dann ergäbe die Formel für den Vollzylinder durch den Faktor 1/2 immer ein größeres Trägheitsmoment als der Hohlzylinder. Das ist ganz sicher falsch, denn beim Vollzylinder befindet sich ein größerer Teil der Masse sehr nahe an der Achse und trägt damit nicht wesentlich zum Trägheitsmoment bei. Da ich gerade keine Lust habe, die Integrale selber nachzurechnen, habe ich im Dubbel nachgeschlagen: Dort ist für die Trägheitsmomente von Voll- und Hohl-Zylindern die gleiche Formel wie im Artikel angegeben.---<(kmk)>- 01:26, 18. Jul. 2007 (CEST)

Der leidige Hohlzylinder

Da die Formel für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders immer wieder verschlimmbessert wird:

$J={1 \over 2}m\cdot (r_{2}^{2}+r_{1}^{2})$

ist die korrekte Formel, mit PLUS zwischen den Radien. Wer keine Lust hat, es selber nachzurechnen, sei verwiesen auf z. B. dies, dies und dies.

Lustig: Dann hat ein Hohlzylinder gleichen Aussendurchmessers ein größeres Massenträgheitsmoment als ein entsprechender Vollzylinder.

Ob das nun "lustig ist, ist eine andere Frage. Aber es ist tatsächlich so! Ein Hohlzylinder hat bei gleichem Außenradius und gleicher Masse eine größeres Massenträgheitsmoment als der entsprechende Vollzylinder. Das liegt eben daran, dass seine Masse "im Schnitt" weiter von der Achse entfernt sitzt. Wenn man dagegen aus einem Vollzylinder einfach ein Loch herausbohrt, dann wird die Masse kleiner und damit auch das Massentägheitsmoment. Es wird eben immer wieder übersehen, dass "m" in der Formel die Masse des Teils, also des Hohlzylinders ist! Um bei Hohl- und Vollzylinder bei gleichem Außenradius die gleiche Masse zu erhalten muss natürlich der Hohlzylinder entweder aus einem Material mit größerer Dichte bestehen oder einfach länger sein. -- kwr 23:03, 9. Apr. 2008 (CEST)

Um die Diskussion zu beenden:

$J_{gross}={1 \over 2}m_{gross}\cdot r_{2}^{2}={1 \over 2}\rho \cdot \pi \cdot r_{2}^{4}\cdot l$

$J_{klein}={1 \over 2}m_{klein}\cdot r_{1}^{2}={1 \over 2}\rho \cdot \pi \cdot r_{1}^{4}\cdot l$

$J_{hohl}=J_{gross}-J_{klein}={1 \over 2}\rho \cdot \pi \cdot l\cdot (r_{2}^{4}-r_{1}^{4})={1 \over 2}\rho \cdot \pi \cdot l\cdot (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})\cdot (r_{2}^{2}+r_{1}^{2})={1 \over 2}m_{hohl}\cdot (r_{2}^{2}+r_{1}^{2})$

Das gilt natürlich nur für Zylinder mit konstanter Dichte. -- 129.187.44.249 09:07, 21. Apr. 2008 (CEST)

Hilfe! Der zweite Satz!

Zur Zeit steht da: Es entspricht der Masse bei Translationsbewegungen und wird deswegen in der älteren Literatur auch Drehmasse genannt...

Wie kann das sein? Meiner Meinung nach ist vielmehr richtig: Es entspricht der Masse bei Rotationsbewegungen und wird deswegen in der älteren Literatur auch Drehmasse genannt...

Haaaalooooo! Kann mir jemand erklären was mit Translationsbewegung ind diesem Kontext gemeint sein soll? Wenn der erste Abschnitt zum bearbeiten freigegeben wäre, würde ich es selbst ändern!(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 81.209.143.114 (Diskussion • Beiträge) 14:34, 2. Jul. 2008 (CEST))

Ich glaube das ist schon richtig so. Was die (träge) Masse für die Translationsbewegung ist, ist das Trägheitsmoment für die Rotationsbewegung, deshalb wird es auch Drehmasse genannt. Grüße --Engie 14:40, 2. Jul. 2008 (CEST)