Potentielle Energie

Die Potenzielle Energie ist eine der Formen von Energie in der Physik. In der Mechanik versteht man unter der potenziellen Energie die Lageenergie eines Körpers gegenüber einem Bezugsenergieniveau.

Sie entspricht in ihrer Größe der am Körper zu verrichtenden (Hub-)Arbeit, um vom Bezugsniveau die neue Lage zu erreichen. Bei reversiblen Vorgängen (keine Reibung) ist die potenzielle gleich der kinetischen Energie, die der Körper gewönne, wenn er der Kraft bis auf das Bezugsniveau folgen, das heißt sich frei bewegen könnte.

Jeder massebehaftete Körper in einem konservativen Kraftfeld besitzt potenzielle Energie. Befindet er sich auf Bezugsniveau, ist sie Null.

So besitzt ein Springer auf einem Sprungturm vor dem Absprung potenzielle Energie gegenüber der Wasseroberfläche. Das Bezugsniveau kann aber auch auf den Grund des Beckens gelegt werden, dann hat der Springer entsprechend mehr potenzielle Energie. Analog muss er mehr (Hub-)Arbeit aufwenden, um vom Grund auf das Sprungbrett zu kommen, als wenn er lediglich die Treppe am Turm hinaufläuft. Auch das in einem Stausee aufgestaute Wasser, ehe es durch Fallrohre hinabstürzt, oder eine Metallkugel zwischen zwei elektrisch geladenen Kondensatorplatten verfügen über potenzielle Energie.

Potenzielle Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem geschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz:

$E_{pot}+E_{kin}={konstant}$

• E_pot - Potenzielle Energie
• E_kin - Kinetische Energie

Ein alltägliches Beispiel ist die Position eines Objekts im Gravitationsfeld der Erde, beispielsweise eine auf einem Tisch liegende Kugel. Rollt sie über den Tischrand, beschleunigt sie bis zum Boden, das heißt gewinnt kinetische Energie; bei ihrem Aufschlag wiederum wird normalerweise ihre gewonnene kinetische Energie durch Reibungsverluste in Wärmeenergie umgesetzt.

Potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

Für die Funktion $E_{pot}(r)$ der potenziellen Energie eines Massepunktes $m$ und der Masse $M$ eines Planeten gilt allgemein

$dE_{pot}(r)=-F\cdot ds=-\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)\cdot ds$

Wobei $F$ die von dem Planeten auf den Massenpunkt ausgeübte Gravitationskraft und $ds$ eine beliebige Verschiebung der Höhe des Systems seien. Unter einer solchen Verschiebung ändert sich die potenzielle Energie um

$dE_{pot}(r)=-F\cdot ds=-F\cdot dr=-\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)\cdot dr={\frac {GMm}{r^{2}}}\cdot dr$

Wenn der Massenpunkt von einer Höhe $r_{1}$ zu einer Höhe $r_{2}$ gebracht wird, so ändert sich seine potenzielle Energie um

$E_{pot}(r_{2})-E_{pot}(r_{1})=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dE_{pot}\,\mathrm {d} r=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {GMm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r={\frac {GMm}{r_{1}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Die potenzielle Energie des Massenpunktes möge auf der Planetenoberfläche $R_{p}$, also $r_{1}=R_{p}$, gleich Null sein, womit

$E_{pot}(r_{2})-E_{pot}(R_{p})=E_{pot}(r_{2})-0={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Damit ergibt sich für eine beliebige Höhe $r$ mit $r>R_{p}$

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

Schreiben wir die potenzielle Energie als Funktion einer Höhe $h=r-R_{p}$ über der Planetenoberfläche, so ist sie vergleichbar mit $mgh$.

Dann ist

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {GMm}{R_{p}r}}\left(r-R_{p}\right)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h$

Mit der Schwerebeschleunigung $g=GM/R_{p}^{2}\rightarrow GM=gR_{p}^{2}$ vereinfacht sich die Formel zu

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h=m\left({\frac {GM}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=m\left({\frac {gR_{p}^{2}}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=mgh{\frac {R_{p}}{r}}$

Die potenzielle Energie ist also ein $mgh$-faches von $R_{p}/r$. In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche sind $R_{p}$ und $r$ nährungsweise gleich, womit die potenzielle Energie in einem solchen Fall mit $mgh$ approximiert wird. Es ist zu beachten dass die potenzielle Energie mit steigendem $r$ nicht unendlich anwächst, sondern vielmehr aus

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

ersichtlich ist, dass der zweite Term der nämlichen Gleichung mit steigendem $r$ gegen Null strebt, weshalb sich die potenzielle Energie einem maximalen Grenzwert der Größe

$E_{pot.max}={\frac {GMm}{R_{p}}}=mgR_{p}$, mit $GM=gR_{P}^{2}$

annähert.

Direkte Herleitung der maximalen potenziellen Energie

Um einen Massenpunkt $m$ um eine Strecke $dr$ anzuheben, muss die Arbeit $dW=F\cdot dr$ geleistet werden, wobei $F$ der Gravitationskraft des Planeten entspricht. Um den nämlichen Massenpunkt von einer Planetenoberfläche $R$ aus dem Gravitationsfeld heraus, also in die Undendlichkeit, zu befördern, muss die maximale potenzielle Energie des Gravitationsfeldes des Planeten gerade erreicht oder übertroffen werden. Für diese gilt also

$W=E_{pot.max}=\int _{R}^{\infty }dW\,\mathrm {d} R=\int _{R}^{\infty }{\frac {GMm}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\int _{R}^{\infty }{\frac {1}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\left[-{\frac {1}{R}}\right]_{R}^{\infty }$ $=GMm\left(0-\left(-{\frac {1}{R}}\right)\right)=GMm\cdot {\frac {1}{R}}={\frac {GMm}{R}}=mgR$

Potenzielle Energie einer gespannten Feder

$E_{pot}={1 \over 2}\cdot D\cdot s^{2}$

• D = Federkonstante
• s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Siehe auch

kinetische Energie, Rotationsenergie, Potential