Schwingkreis

Ein elektrischer Schwingkreis ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule L und einem Kondensator C, die elektrische Schwingungen ausführen kann. Beim LC-Schwingkreis wird die Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hoher Strom oder hohe Spannung vorliegen. Die Frequenz f₀, mit der sich dieses im ungestörten Fall periodisch wiederholt, ist:

Parallel-
schwingkreis

$f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

wobei L die Induktivität der Spule und C die Kapazität des Kondensators sind. Die Gleichung nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Je nach Anordnung der Induktivitäten und Kapazitäten unterscheidet man zwischen Parallelschwingkreis (L parallel zu C) und Reihen- oder Serienschwingkreis (L in Reihe zu C).

Das Schwingen eines Schwingkreises:
Bei 1 befindet sich die gesamte Energie im elektrischen Feld des Kondensators, die Spannung ist maximal, Strom- und magnetische Feldstärke sind 0.
Bei 2 befindet sich die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule. Der Strom ist maximal. Spannung und elektrisches Feld sind 0.
Bei 3 befindet sich die gesamte Energie wieder im elektrischen Feld, die Feldlinien zeigen jedoch im Vergleich mit 1 in die andere Richtung.
Bei 4 befindet sich die gesamte Energie wieder im Magnetfeld, die Feldlinien verlaufen aber im Vergleich zu 2 in die entgegengesetzte Richtung.

Ähnliche Schaltungen aus Spule und Kondensator werden auch als LC-Glieder bezeichnet, sie befinden sich jedoch nicht zwingend in Resonanz (siehe Tiefpass, Hochpass).

Zustandekommen der Schwingung

1. Zunächst sei der Kondensator geladen und die im elektrischen Feld des Kondensators gespeicherte Energie ist maximal. Es herrscht die maximale Potentialdifferenz zwischen seinen Platten, und somit liegt die maximale Spannung am Schwingkreis an. Der Strom durch die Spule sei noch Null. Die gesamte Energie ist als elektrische Energie im Kondensator gespeichert. (Bild 1)
2. Durch die anliegende Spannung wird in der Spule ein Stromfluss hervorgerufen und der Kondensator wird entladen. Die Stärke des Entladestroms steigt zunächst stärker, dann langsamer an, denn der ansteigende Strom erhöht den magnetischen Fluss in der Spule, wodurch in der Spule eine Spannung induziert wird, die nach der Lenzschen Regel ihrer Ursache entgegen wirkt.
3. Während sich die Spannung immer stärker verringert, bis sie schließlich Null wird, erreicht die Stromstärke schließlich ihr Maximum. Zu diesem Zeitpunkt ist auch die magnetische Feldstärke der Spule am größten und der Kondensator vollständig entladen. Die gesamte Energie ist als Energie des magnetischen Feldes der Spule gespeichert. (Bild 2)
4. Nachdem die Stromstärke ihren Höhepunkt durchlaufen hat, nimmt sie ab, was dazu führt, dass die magnetische Flussdichte an der Spule sinkt. Dies resultiert nach der Lenzschen Regel in einer Induktionspannung, die ihrer Ursache entgegenwirkt, so dass die Stromstärke zunächst nur sehr langsam abnimmt und der Kondensator nun entgegengesetzt aufgeladen wird. Die Potentialdifferenz zwischen seinen Platten nimmt folglich wieder zu, jedoch mit entgegengesetzter Polung zur Ausgangslage. Das Gleiche gilt für die Spannung am Schwingkreis, die nun mit negativem Vorzeichen zuwächst.
5. Während die Stromstärke weiter nachlässt und auf Null zurückgeht, erlangt der Kondensator seine Anfangsladung wieder. Die komplette, im Magnetfeld gespeicherte Energie wird dabei wieder in elektrische Feldenergie umgewandelt. (Bild 3)
6. Alle Vorgänge wiederholen sich dann in entgegengesetzter Richtung: Der Kondensator entlädt sich und so weiter...

Parallelschwingkreis

Spule und Kondensator bilden eine Parallelschaltung. Dadurch liegt an beiden Bauteilen stets die gleiche Spannung. Die Resonanz einer solchen Schaltung nennt man Parallelresonanz (beim idealen Schwingkreis ist der an den Klemmen beobachtbare Widerstand $R=\infty$).

Parallelschwingkreis

Der Strom durch die Spule L eilt der Spannung an ihr um 90° nach; im Zeigerdiagramm:

Bei einem Kondensator C eilt der Strom in der Phase um 90° der Spannung voraus, d. h. die Spannung um 90° hinter dem Strom zurück; im Zeigerdiagramm:

Der Pfeil für I_C ist (absichtlich) ein wenig länger als der Pfeil für I_L, das bedeutet, dass der kapazitive Widerstand kleiner ist als der induktive Widerstand, die Frequenz liegt im betrachteten Fall etwas höher als die Resonanzfrequenz. (Bei Resonanz müssen I_C und I_L gleich groß sein.) Da die Spannungen an Spule und Kondensator wie bei jeder Parallelschaltung übereinstimmen, kann man die Ströme grafisch addieren. Der resultierende Strom in den Zuleitungen zum Schwingkreis ist bei Anregung mit der Frequenz f die Summe aus I_L und I_C und wird als I_ges bezeichnet:

Man beachte, dass die Ströme durch C und L größer sind als I_ges. Je näher man an die Resonanzfrequenz herankommt, desto größer wird der Unterschied. I_ges zeigt bei dieser Frequenz nach links und ist recht kurz. Das bedeutet, dass der Schwingkreis bei der vorliegenden, zu hohen Frequenz wie ein Kondensator geringer Kapazität wirkt. Präzise bei Resonanzfrequenz ist I_ges = 0 und der Parallelschwingkreis lässt keinen Strom durch. Unterhalb der Resonanzfrequenz zeigt I_ges nach rechts, und der Schwingkreis wirkt wie eine große Induktivität.

Dieses „Umklappen“ des Pfeils I_ges wird als Phasensprung um 180° bezeichnet und ist mit einem Oszilloskop gut zu sehen.

Das Verhältnis von U und I wird durch den kapazitiven und induktiven Blindwiderstand X_C bzw. X_L bestimmt. Für eine Spule mit der Induktivität L gilt bei der Frequenz f:

$X_{L}=2\pi \cdot f\cdot L=\omega L$

Für einen Kondensator mit der Kapazität C gilt bei der Frequenz f:

$X_{C}=-{1 \over {2\pi \cdot f\cdot C}}=-{\frac {1}{\omega C}}$

Häufig wird anstelle der Frequenz auch die Kreisfrequenz ω benutzt:

$\omega =2\pi \cdot f$

Diejenige Frequenz, bei der beide Blindwiderstände und damit beide Ströme betragsmäßig gleich sind und sich aufheben (Parallelresonanz), nennt man Resonanzfrequenz f₀. Der an den Klemmen beobachtete Strom ist beim realen Schwingkreis dann nahezu null, die innerhalb des Schwingkreises fließenden Ströme sind jedoch wesentlich (um den Gütefaktor Q) größer (Stromüberhöhung). Der Scheinwiderstand an den Klemmen des idealen Schwingkreises ist unendlich groß, der Klemmenstrom null. Diese Frequenz ergibt sich aus der Bedingung

$Im(Z)=0\$

$X_{L}+X_{C}=0\$

$2\pi \cdot f_{0}\cdot L={1 \over {2\cdot \pi \cdot f_{0}\cdot C}}$

zu

$f_{0}={1 \over {2\pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}}}$

oder $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {L\cdot C}}}$

(Thomsonsche Schwingungsgleichung). Man nennt f₀ die Resonanzfrequenz des Schwingkreises.

Ein realer Schwingkreis enthält in der Spule und dem Kondensator immer auch Verluste; den ohmschen Widerstand der Leitungen und der Spulenwicklung, dielektrische Verluste im Kondensator und abgestrahlte elektromagnetische Wellen. Es verbleibt dann ein restlicher Strom an den Klemmen I_R, der mit U phasengleich ist und der auch im Falle der Resonanz nicht zu null wird.

Daher wird beim realen Parallelschwingkreis der Resonanzwiderstand nicht unendlich, sondern er erreicht lediglich sein Maximum.

Reihenschwingkreis

Ein Reihenschwingkreis, an dem eine Wechselspannung mit einstellbarer Frequenz angelegt wird.

Spannungsüberhöhung von 12 V auf 700 V bei einem Inverter

Schaltaufbau Siebkette

Beim LC-Reihenschwingkreis sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet. Diese Form des LC-Schwingkreises erreicht bei der Resonanzfrequenz des Schwingkreises an den Anschlüssen ein Widerstands-Minimum. Die Resonanz eines LC-Reihenschwingkreises heißt Reihenresonanz oder Serienresonanz; eine mit dieser Frequenz anliegende Wechselspannung wird durch einen idealen Reihenschwingkreis kurzgeschlossen.

Der (Blind-)Widerstand der Schaltung ist $X=X_{L}-X_{C}=\omega L-{1 \over {\omega C}}$.

Bei der Resonanzfrequenz heben sich die (komplexen) kapazitiven und induktiven Blindwiderstände gegenseitig auf, und die Schaltung wirkt als Kurzschluss. Diese Frequenz ergibt sich aus der Bedingung

$X_{L}=-X_{C}\$

mit

$\omega =2\pi \cdot f$

zu

$f_{0}={1 \over {2\pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}}}$

Liegt die Frequenz oberhalb der Resonanzfrequenz, ist der induktive Blindwiderstand (Spule) betragsmäßig größer als der kapazitive, so dass der komplexe Gesamtwiderstand positiv ist. Dabei wirkt die Spule wie ein Widerstand für diese Frequenz. Der Kondensator hebt mit steigender Frequenz einen immer kleiner werdenden Teil des komplexen Widerstandes auf.

Liegt die Frequenz unterhalb der Resonanzfrequenz, ist der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators betragsmäßig größer als der induktive Blindwiderstand der Spule und der komplexe Teil des Gesamtwiderstandes hat ein negatives Vorzeichen. Hierbei wirkt die Spule mit sinkender Frequenz zunehmend wie ein Kurzschluss und der komplexe Widerstand (Blindwiderstand) des Kondensators wird immer weniger kompensiert.

Siehe auch: Oberschwingungsfilter

Bei einem Reihenschwingkreis tritt eine Spannungsüberhöhung auf, das heißt, am Verbindungspunkt zwischen L und C können wesentlich höhere Spannnungen auftreten als an des Anschlussklemmen.

(siehe Resonanztransformator)

Oszillator

Sich selbst überlassen, schwingt ein Schwingkreis mit seiner Resonanzfrequenz f₀. Infolge der Verluste (Dämpfung durch den ohmschen Widerstand) nimmt die Amplitude der Schwingung im Laufe der Zeit ab („gedämpfte Schwingung“), wenn nicht durch eine aktive Verstärkerschaltung (beispielsweise mit einem Transistor) regelmäßig wieder Energie zugeführt wird. Eine solche Schaltung bildet einen Oszillator (Schwingungserzeuger), ein Beispiel ist die Meissner-Schaltung.

Resonanzkurve (Ortskurve)

Die Resonanzkurve stellt den Gesamtwiderstand eines Schwingkreises in Abhängigkeit von der Frequenz dar. Sie weist beim Parallelschwingkreis bei tiefen Frequenzen einen niedrigen Wert auf, der in der Umgebung der Resonanzfrequenz ansteigt und bei zu hohen Frequenzen wieder sinkt. Beim Serienschwingkreis ist der Wert bei tiefen und hohen Frequenzen hoch und sinkt in der Umgebung der Resonanzfrequenz ab.

Kreisgüte

In realen Schwingkreisen treten in den Induktivitäten (Spulen) und Kapazitäten (Kondensatoren) auch Verluste auf (ohmscher Widerstand, dielektrische Verluste, Abstrahlung). Dies führt dazu, dass die Schwingung eines Schwingkreises gedämpft wird. Ein Maß dafür, wie lang ein Schwingkreis eine freie Schwingung aufrechterhalten kann, ist dessen Güte. Generell ist die Güte eines Schwingkreises durch den Quotienten aus Blind- und Wirkleistung bei Resonanzfrequenz gegeben: $Q={\frac {|Q_{\omega _{0}}|}{P_{\omega _{0}}}}$

Güte oder Gütefaktor eines Serienschwingkreises

Die Breite B oder Δf = f₂ - f₁ (auch Bandbreite genannt) des Minimums bzw. Maximums der Resonanzkurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz f₀ wird durch den ohmschen Widerstand verursacht. Dieses kann ausgenutzt werden, um die Güte eines Schwingkreises zu definieren.

Das Verhältnis

$Q={f_{0} \over {B}}$

nennt man die Güte des Serienschwingkreises. f₀ setzt sich aus dem geometrische Mittel $f_{0}={\sqrt {f_{1}\cdot f_{2}}}$ der oberen f₂ und der unteren Grenzfrequenz f₁ zusammen. Die Grenzfrequenzen f₁ bzw. f₂ sind diejenigen Frequenzen bei denen die Spannung U bzw. der Strom I auf den ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$ -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei exakter Resonanzfrequenz.

Die Güte wird durch den fiktiven ohmschen Anteil R bestimmt. Dieser setzt sich aus den ohmschen Verlusten der Spule L und einem äquivalenten Serienwiderstand des Kondensators zusammen, der dessen dielektrische Verluste repräsentiert. Es gilt:

$Q=2\cdot \pi \cdot f_{0}\cdot {L \over R}={1 \over R}\cdot {\sqrt {L \over C}}$

Der Kehrwert der Güte wird auch Dämpfung genannt.

Güte eines Parallelschwingkreises

Beim Parallelschwingkreis ist die Güte als

$Q={f_{0} \over {B}}$ definiert. B = f₂ - f₁. Für einen Parallelschwingkreis mit einem weiteren parallel geschalteten Widerstand ergibt sich

$Q=R\cdot {\sqrt {\frac {C}{L}}}$

Abstimmung

Die Resonanzfrequenz hängt von L und von C ab und kann daher durch Ändern von L oder C beeinflusst werden. Der Schwingkreis wird hierdurch auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt.

Die Induktivität L kann vergrößert werden, indem ein ferromagnetischer Kern (Eisen oder Ferrit) mehr oder weniger weit in die Spule eingeschoben wird. Auch das Verdrängen des Feldes durch einschieben eines gut leitenden Kernes wird angewendet - dann verringert sich die Induktivität.

Die Kapazität C kann verändert werden, indem die Plattengröße oder der Plattenabstand des Kondensators verändert wird. Beim Drehkondensator und bei vielen Trimmern geschieht das, indem die Platten seitlich gegeneinander verdreht werden, so dass der Anteil der sich gegenüberliegenden Flächen verändert wird. Andere Schaltungen verwenden stattdessen zum Beispiel eine Kapazitätsdiode.

Anwendung

Der Scheinwiderstand zeigt eine Frequenzabhängigkeit, indem er nahe der Resonanzfrequenz beim Reihenschwingkreis minimal und beim Parallelschwingkreis maximal wird. Man verwendet diese Frequenzabhängigkeit, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenzen eine bestimmte Frequenz herauszufiltern - entweder um sie allein durchzulassen, oder um sie gezielt zu unterdrücken. Der Parallelschwingkreis hat zudem den Vorteil, Gleichstrom wie beispielsweise den Betriebsstrom des Transistors unbehindert passieren zu lassen. Deshalb wird beim Einsatz in einem selektiven Verstärker immer ein Parallelschwingkreis verwendet.

• Bei älteren Telefonanlagen wurden über die Zweidrahtleitung sowohl Sprache als auch – auf höherer Frequenz – die Gebührenimpulse gesendet. Im Telefonapparat war ein Sperrkreis eingebaut, um die Frequenz des Impulses für den Hörer zu unterdrücken. Nur diese wurde über einen Serienschwingkreis zum Gebührenzähler geschickt, der wiederum keine Sprachfrequenzen erhielt.
• Mit Parallelschwingkreisen werden zum Beispiel Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abgestimmt. Dabei wird ein Schwingkreis zwischen die Eingangspole geschaltet – im einfachsten Fall des Detektorempfängers direkt zwischen Antenne und Erde. Das Ausgangssignal wird ebenfalls an diesen Anschlüssen abgenommen und der weiteren Verarbeitung (Mischung bei einem Überlagerungsempfänger, Demodulation) zugeführt.
• Die Endstufen von Sendeanlagen erzeugen häufig unerwünschte Oberwellen, die nicht über die Antenne abgestrahlt werden dürfen. Deshalb unterdrückt man diese durch einige Schwingkreise nach der Endstufe. Da an dieser Stelle auch eine Widerstandsanpassung an die Impedanz der Antenne erfolgen muss, wird der Schwingkreis oft durch einen Resonanztransformator ersetzt.
• Mit Reihenschwingkreisen kann z. B. eine störende Frequenz aus dem Rundfunksignal ausgefiltert (kurzgeschlossen) werden, indem man ihn vor dem eigentlichen Empfänger zwischen Antenne und Erde anschließt. Damit kann man bei einfachen Rundfunkempfängern beispielsweise einen sehr starken Ortssender ausfiltern, um die eigentlichen Frequenzselektionsstufen dann auf die gewünschte Frequenz eines weiter entfernteren und dadurch schwächer einfallenden Senders abzustimmen, die sonst vom Ortssender überlagert würden. (In der Praxis wird dazu aber eher ein Parallelkreis verwendet, der als Sperrkreis in die Antennenzuleitung eingefügt wird.)

Parallel- und Serienschwingkreise können je nach Beschaltung auch die jeweils andere Aufgabe übernehmen. So kann ein lose gekoppelter Parallelschwingkreis Energie ausschließlich bei seiner Eigenfrequenz aufnehmen (Saugkreis); ein Reihenschwingkreis in Reihe in einer Signalleitung lässt nur Frequenzen seiner Eigenresonanz passieren. Dagegen lässt ein in eine Signalleitung in Reihe geschalteter Parallelschwingkreis genau seine Eigenfrequenz nicht passieren – vorausgesetzt, er wird durch diese nicht maßgeblich bedämpft: solche Sperrkreise sind Parallelschwingkreise, die in Serie zum Beispiel in die Antennenleitung eingefügt werden. Sie bilden dann beispielsweise für einen starken Ortssender einen maximalen Widerstand, sodass andere Sender besser von diesem getrennt werden können.

Beispiel

Datei:Blindleistung.gif

Kapazitive Blindleistung unkompensiert

Datei:Blindleistung kompensiert.gif

Blindleistung kompensiert

Die nebenstehende Parallelschaltung aus einem Widerstand und einem Kondensator ist am 230-V-Stromnetz angeschlossen, bei 50 Hz fließen die angegebenen Ströme. Durch den Widerstand fließt 2,3 A Wirkstrom, der bezahlt werden muss, auf den Blindstrom von 1,45 A darf der Elektrizitätszähler nicht reagieren und die Anschlussleitung muss für den Gesamtstrom von 2,72 A bemessen sein. Einer Wirkleistung von 529 W steht eine Blindleistung von 334 W gegenüber, die zwischen Generator und Kondensator pendelt und Leitungen und Trafos unnötig belastet.

Zur Kompensation dieser Blindleistung wird eine passend gewählte Induktivität von 0,5 H parallel zum Gerät geschaltet, deren Blindstrom ebenfalls 1,45 A beträgt. Die Blindströme von Kondensator und Spule kompensieren sich auf Grund ihrer entgegengesetzten Phasenlagen und die gesamte Stromaufnahme sinkt auf 2,3 A. Die gesamte Anordnung gleicht nun einem gedämpften Schwingkreis, die Resonanzfrequenz von Kondensator und Spule beträgt genau 50 Hz.

Schwingkreise als Ersatzschaltbilder

Neben Schwingkreisen gibt es viele weitere elektronische Konstruktionen, die in Anwendungen an Stelle von Schwingkreisen eingesetzt werden (besonders bei sehr hohen Frequenzen). Siehe hierzu Lecherleitung, Topfkreis, Hohlraumresonator, aber auch Antennendipol. Die physikalische Funktion dieser Konstruktionen basiert meist auf der Nutzung von Stehwellen und unterscheidet sich damit grundsätzlich von der physikalischen Funktion eines Schwingkreises. Für derartige Konstruktionen werden häufig Ersatzschaltbilder in Form elektrischer Schwingkreise angegeben, die eine vereinfachte, angenäherte Berechnung ihres Verhaltens erlauben.

Ersatzschaltbilder mit ihren idealen elektronischen Bauelementen bilden lediglich das Verhalten der "ersetzten" Konstruktion nach, nicht jedoch ihre physikalische Wirkungsweise. Deshalb lassen sich die Werte der Bauelemente in diesen Ersatzschaltbildern in der Regel nicht aus dem physikalischen Aufbau (wie den geometrischen Abmessungen) der ersetzten Konstruktion ableiten, sondern nur aus ihrem Verhalten (wie der Resonanzfrequenz).

Siehe auch

• Mittenfrequenz
• Topfkreis
• Dipmeter

Literatur

• Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7

Weblinks

• Messungen und Berechnungen an einem Reihenschwingkreis
• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'
• Java-Applet zur Demonstration eines Schwingkreises