Briefumschlagparadox

Das Briefumschlagparadox ist ein Paradoxon aus der Statistik, welches den Begriff des Erwartungswertes hinterfragt.

Das Paradox

Nehmen wir an, Herr Lemke ist ein Gönner von Herrn Schmidt. Die Sekretärin von Herrn Lemke hat zwei gleichaussehende Briefumschläge genommen, und in den einen einen Geldbetrag hineingetan. In dem anderen Briefumschlag hat sie den doppelten Betrag hineingetan. Von außen sehen beide Briefumschläge völlig gleich aus. Am Abend treffen sich Herr Lemke und Herr Schmidt auf einer Party. Herr Lemke legt beide Briefumschläge auf einem Tisch ab. Andere Partygäste bringen die Briefumschläge durcheinander. Zur fortgeschrittenen Stunde - man hat schon etwas getrunken - ergreift Herr Lemke einen der beiden Briefumschläge und gibt ihn Herrn Schmidt. Herr Schmidt öffnet und findet das Geld. Nun sagt Herr Lemke dazu: "In dem anderen, völlig gleich aussehendem Umschlag, der noch auf dem Tisch liegt, befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der doppelte Geldbetrag und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der halbe Geldbetrag. Möchten Sie die beiden Umschläge austauschen und den anderen nehmen." Herr Lemke überlegt: "Ich habe in diesem Umschlag 100 Euro. Wenn ich tausche, habe ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% 200 Euro und mit der selben Wahrscheinlichkeit 50 Euro. Dies macht einen Erwartungswert von 125 EUR."

125 EUR = 0.5 * 50 + 0.5 * 200

Lohnt sich das Tauschen?

Was ist Paradox daran?

Es wurde eine Rechnung vorgeführt, wonach sich tauschen lohnen müsste. Aber der sogenannte gesunde Menschenverstand sagt, dass Tauschen weder einen Vorteil noch einen Nachteil bringt.

Eigentlich spielt es keine Rolle, ob der erste Briefumschlag geöffnet ist oder nicht, denn man braucht nicht zu wissen, wieviel Geld absolut drin ist. In diesem Fall aber muss man, wenn man der obigen Logik folgt, immer wieder wechseln, um die höhere Summenwahrscheinlichkeit zu erzielen.