Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra nennt man eine Menge von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig, wenn sich keiner der Vektoren als Linearkombination aus den anderen Vektoren zusammensetzen lässt. Vektoren sind nur dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch die Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, indem man alle Koeffizienten der Kombination auf 0 setzt.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum R³ die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) linear unabhängig. Die Vektoren (2, -1, 1), (1, 0, 1) und (3, -1, 2) sind hingegen nicht linear unabhängig, denn der dritte Vektore lässt sich aus der Summe der beiden ersten zusammensetzen. Sind Vektoren nicht linear unabhängig, dann nennt man sie auch linear abhängig.

Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K , die Vektoren v₁, v₂, ..., v_n Vektoren des Vektorraums V und die Elemente a₁,a₂, ...,a_n von K seien eine Koeffizientenfamilie (mit endlich vielen Elementen a_i ungleich Null).

Dann sind die Vektoren v₁, v₂, ..., v_n voneinander linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor aus der Linearkombination

a₁*v₁ + a₂*v₂ + ... +a_n*v_n=0

nur darstellen lässt, wenn alle Koeffizienten a_i=0 (für i=1...n) sind, also

0*v₁+0*v₂+ ... +0*v_n=0

Das bedeutet

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} \,$ mit a_i=0

Lässt sich der Nullvektor hingegen mit Koeffizienten ungleich Null erzeugen, dann sind die Vektoren linear voneinander abhängig.

(Wichtig: Der Nullvektor 0 ist ein Element von V, während 0 ein Element aus K ist)

Hat man zum Beispiel drei Vektoren aus R³, kann man sehr einfach überprüfen ob sie voneinander linear unabhängig sind. Dazu wird aus

0=a₁*u+a₂*v+a₃*w

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

0=a₁*u_x+a₂*v_x+a₂*w_x

0=a₁*u_y+a₂*v_y+a₂*w_y

0=a₁*u_z+a₂*v_z+a₂*w_z

und mittels Gaußschen Eliminationsverfahren nach a₁, a₂, a₃ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass a₁= a₂=a₃=0, dann sind die Vektoren linear unabhängig, bei weiteren Lösungen sind sie linear voneinander abhängig.

Ist die Menge der Vektoren v₁,v₂, ..., v_n linear unabhängig, so ist jede Teilmenge dieser Menge ebenfalls linear unabhängig. Ist diese Menge hingegen linear abhängig, so ist jede Vektormenge, die diese abhängige Menge als Teilmenge beinhaltet ebenso linear abhängig.

Um die Definition noch einmal auf den Punkt zu bringen, kann man sagen, dass die Vektoren v₁,v₂,...v_{n genau dann linear unabhängig sind, wenn folgendes erfüllt ist:}

Sind a₁,a₂, ..., a_n Elemente von K und gilt, dass

a₁*v₁+a₂*v₂+ ... +a_n*v_n=0

dann muss a_i=0, für i=1,2, ...,n

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf die Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem mit dem alle Elemente eines Vektorraums erzeugt werden können.

Beispiele

Sind z.B. aus dem englischen Artikel zu übernehmen.

Verallgemeinerung

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, s. Matroid.