Diskussion:Extremwert

Die funktion muss stehtig im definitonsbereich sein!

Kriterium falsch

Eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion kann ein lokales Extremum annehmen, ohne dass ein Vorzeichenwechsel vorliegt, z.B.

$f(x)=e^{-1/x^{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}},\quad f(0)=0$

im Nullpunkt. Ein Vorzeichenwechsel ist also auch nur eine hinreichende Bedingung.--Gunther 23:47, 3. Mär 2005 (CET)

Meine Mathematikkenntnisse sind eher bescheiden, aber auf den ersten Blick würde ich sagen, dass diese Funktion an der Stelle x=0 gar nicht definiert ist --Robert 07:03, 4. Mär 2005 (CET)

f(0) = 0 :) -- 213.54.195.167 07:07, 4. Mär 2005 (CET)

ok, wenn man den Grenzwert für x gegen 0 betrachtet. Aber selbst dann ist alles in Ordnung, denn die 1. Ableitung der Funktion lautet:

$f'(x)=2e^{-1/x^{2}}x^{3}(\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}}-2sin{\frac {1}{x^{2}}}cos{\frac {1}{x^{2}}})$

(Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet :) Und diese Ableitung hat bei x=0 einen Vorzeichenwechsel:

$f(-0,1)=-8,4*10^{-41}$

$f(0,1)=8,4*10^{-41}$

--Robert 07:44, 4. Mär 2005 (CET)

Ich glaube, das Problem ist die nicht ausreichend exakte Definition von Vorzeichenwechsel. -- 213.54.201.248 08:32, 4. Mär 2005 (CET)

Ich sehe das Problem momentan nicht. Ich glaube eher, dass Gunther in der Definition im Artikel den Satzteil die erste Ableitung der Funktion überlesen hat. --Robert 08:39, 4. Mär 2005 (CET)

Wie wäre es mit einer Fallunterscheidung:

• f ist stetig und differenzierbar
• ...

--213.54.201.248 08:45, 4. Mär 2005 (CET)

klar kann man das noch ausbauen (aber ich nicht, s.o: bescheidene Mathematikkenntnisse). Derzeit steht im Artikel "differenzierbar und reell". Ich weiß nicht, wie das mit nichtstetigen Funktionen ausschaut und erst recht nicht, wenn nicht reell, nicht differenzierbar, nicht entwickelt, Fläche, etc. ist --Robert 09:04, 4. Mär 2005 (CET)

Laut Vorzeichenwechsel muss die betreffende Funktion (hier also f' ) in hinreichend kleinen Intervallen rechts bzw. links des betreffenden Punktes ausschließlich positive bzw. negative Werte annehmen. Von daher ist f' (0,1) hier völlig irrelevant. Der Punkt ist, dass der Faktor

$\sin {\frac {1}{x^{2}}}\left(\sin {\frac {1}{x^{2}}}-2\cos {\frac {1}{x^{2}}}\right)$

in jedem Intervall der Form $(0,\epsilon )$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt, und damit liegt kein Vorzeichenwechsel bei 0 vor.--Gunther 10:18, 4. Mär 2005 (CET)