Zählmaß (Maßtheorie)

Einfach gesprochen ist das Zählmaß eine Funktion die jeder Menge die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf dem Messraum $(A,P(A))$ definieren, wobei $A$ eine endliche oder abzählbar unendliche Menge ist und $P(A)$ ihre Potenzmenge. Im ersten Fall entsteht dabei ein endliches Maß, im zweiten ein σ-endliches.

Mit Hilfe des Zählmasses lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen.

Beispiele

Über den natürlichen Zahlen, d.h. dem Messraum $(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ))$, lässt sich das Zählmaß formal definieren durch

$\mu :{\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )\rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{+}$ mit $A\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\chi _{A}(k)$ .

Hierbei bezeichnen ${\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )$ die Potenzmenge von $\mathbb {N}$ und $\chi _{A}$ die charakteristische Funktion über einer Menge $A$.