Laplace-Verteilung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronom) oder synonym von Doppelexponentialverteilung, wenn alle möglichen Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments (Elementarereignisse) bei genügender Wiederholung gleich häufig auftreten. Es handelt sich also um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Das Ereignis, dass überhaupt irgendein Versuchsausgang eintritt, wird sicheres Ereignis genannt und ihm die Zahl 1 zugeordnet (siehe Kolmogorow-Axiome). Die Einzelwahrscheinlichkeit $p$ eines von $N$ möglichen Versuchsausgängen eines Laplace-Experiments ergibt sich daher wie folgt:

$p={1 \over N}$

Ein Beispiel ist der Wurf mit einem so genannten Laplace-Würfel: Für jedes mögliche Ereignis (Seite "1", Seite "2", etc.) ist die Wahrscheinlichkeit 1/6. Genau genommen ist der Wurf mit einem normalen Würfel jedoch kein Laplace-Experiment aufgrund der nicht wirklich gleichen Seiten, eventuellen ungleichen Masseverteilungen und der theoretischen Möglichkeit, auf eine Kante zu fallen. Die meisten normalen Würfel erfüllen diese Anforderungen jedoch sehr gut.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung doppelexponenzialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion $F(x)={\begin{cases}{1 \over 2}e^{\lambda x},&{\mbox{wenn }}x<0\\1-{1 \over 2}e^{-\lambda x},&{\mbox{wenn }}x\geq x\end{cases}}$ lautet hierbei $F^{-1}(y)={\begin{cases}{1 \over \lambda }\ln(2y),&{\mbox{wenn }}y<{1 \over 2}\\-{1 \over \lambda }ln(2(1-y)),&{\mbox{wenn }}y\geq {1 \over 2}\end{cases}}$. Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher eine Folge $x_{i}:=F^{-1}(u_{i})$ doppelexponenzialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Siehe auch: Mathematik, Experiment