Hamiltonsches Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip oder das Prinzip der kleinsten Wirkung ist ein Extremalprinzip. Danach verhalten sich die physikalischen Teilchen und Feldern so, dass eine Größe, die die Teilchenbahnen und Feldwerte bewertet, kleiner ist als bei allen anderen denkbaren Teilchenbahnen oder Feldwerten. Die Bewertung nennen Physiker die Wirkung, mathematisch ist die Wirkung ein Funktional.

Ein vergleichbares Extremalprinzip ist das Fermatsche Prinzip, nach dem ein Lichtstrahl in einem Medium von allen denkbaren Wegen vom Anfangspunkt zum Endpunkt den Weg mit der geringsten Laufzeit durchläuft.

Aus dem Hamiltonschen Prinzip folgen bei geeignet gewählter Wirkung die Newtonschen Bewegungsgleichungen, aber auch die Gleichungen der relativistische Mechanik, die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik, die Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und die Gleichungen, mit denen man die anderen elementaren Wechselwirkungen beschreibt.

Geschichte

Pierre Louis Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen. Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange klärten, dass solch ein Prinzip die Gültigkeit von Euler-Lagrange-Gleichungen bedeute. 1823 formulierte William Rowan Hamilton das nach ihm benannte Prinzip.

Mathematische Beschreibung

In der Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über eine Funktion der Zeit $t$, des Ortes $x$ und der Geschwindigkeit $v$, die sogenannte Lagrangefunktion

${\mathcal {L}}(t,x,v)\,.$

Beispielsweise ist in Newtonscher Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse $m$, das sich im Potential $V(t,x)$ bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie,

${\mathcal {L}}(t,x,v)={\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-V(t,x)\,,$

in relativistischer Mechanik eines freien Teilchens ist

${\mathcal {L}}(t,x,v)=-m\,c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,.$

Jeder Bahn $\Gamma :t\mapsto x(t)\,,$ die im Laufe der Zeit $t$ von einem Anfangspunkt ${\underline {x}}=x(t_{1})$ zu einem Endpunkt ${\overline {x}}=x(t_{2})$ durchlaufen wird, ordnet die Wirkung folgenden Wert zu:

$W[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\mathcal {L}}{\bigl (}t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\bigr )}\,.$

Die Wirkung hat also die Dimension Energie mal Zeit.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, dass von allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch ${\underline {x}}$ und schließlich durch ${\overline {x}}$ laufen, diejenigen Bahnen in der Natur durchlaufen werden, die kleinste, genauer eine stationäre Wirkung haben. Für die physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet die erste Variation der Wirkung:

$\delta W=0$

Sie genügen daher der Euler-Lagrange-Gleichung

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}=0\,.$

Da das Wirkungsprinzip unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ist, kann man die Euler-Lagrangegleichungen in solchen Koordinaten untersuchen, die dem jeweiligen Problem angemessen sind und beispielsweise Kugelkoordinaten verwenden, wenn es um die Bewegung im drehinvarianten Gravitationsfeld der Sonne geht. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichung. Vor allem aber läßt sich in dieser Formulierung der Bewegungsgleichungen das Noether-Theorem beweisen, dass zu jeder Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße gehört und dass umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung gehört.