Hilberts Satz 90

Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen.

Ursprüngliche Fassung

Es sei $L/K$ eine zyklische Galoiserweiterung und $\sigma$ ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes $y\in L^{\times }$ mit Norm $N_{L/K}(y)=1$ von der Form

$y={\frac {\sigma x}{x}}$

mit einem geeigneten $x\in L^{\times }$.

Galoiskohomologische Fassung

Ist $K$ ein Körper und $K^{\mathrm {sep} }$ ein separabler Abschluss von $K$, so ist die Galoiskohomologie

$\mathrm {H} ^{1}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=0$.

Algebraisch-geometrische Fassung

Es sei $X$ ein Schema. Dann ist

$\mathrm {H} _{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })=\mathrm {Pic} \,X.$

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Hilbert 90 für motivische Kohomologie

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zu $\mathrm {H} ^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{1-\sigma }=H^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{N_{X/Y}}H^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })$ für zyklische Galoisüberlagerungen Y/X mit Erzeuger Sigma. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.