Diskussion:Leibniz-Kriterium

soweit ich weiß gilt das Kriterium nicht in den Komplexen Zahlen ... hat jemand ein gutes Argument wieso? Der Beweis scheint ja auszunutzen, dass der entsprechende Körper angeordnet ist - aber hat vielleicht jemand ein Gegenbeispiel? Das würde den Artikel sicher aufwerten .. Bitte auch auf meienr Diskussionseite kurz bescheid geben, wenn wer was weiß :D Danke! --Self 18:54, 4. Mär 2006 (CET)

Ich verstehe nicht, was Du da erwartest. Beispiele dafür, dass es ohne Monotonie nicht funktioniert, gibt es schon im Reellen, z.B.

$a_{n}={\begin{cases}1/n&n\ \mathrm {gerade} \\0&n\ \mathrm {ungerade} \end{cases}}$

Wenn ich mich recht erinnere, gibt es eine in mancher Hinsicht vergleichbare Aussage in der Form: Für eine (komplexe) Folge $(a_{n})\in \ell _{2}$ ist $\sum a_{n}\zeta ^{n}$ für fast alle $|\zeta |=1$ konvergent. Aber ohne Gewähr...--Gunther 13:56, 5. Mär 2006 (CET)

Umkehrschluss

Ist der Umkehrschluss eigentlich wahr? Also, wenn der "hintere" Teil der Folge entweder keine Nullfolge oder nicht monoton ist, ist dann die Divergenz zwingend? Nilles 15:34, 28. Nov. 2006 (CET)

Wenn der "hintere" Teil keine Nullfolge ist, dann ist die Reihe klarerweise divergent ("Trivialkriterium" in Konvergenzkriterium). Wenn die Folge nicht monoton ist, kann die alternierende Reihe sowohl konvergent als auch divergent sein. --NeoUrfahraner 15:39, 28. Nov. 2006 (CET)

Danke. Das mit dem Trivialkriterium hatte ich mir auch angeschaut, aber irgendwie hat's wohl nicht "klack" gemacht. ;) Nilles 15:42, 28. Nov. 2006 (CET)

monoton fallende (bzw. wachsende!) Nullfolge

Konvergiert eine unendl. Reihe nach dem Leibniz-Kriterium nicht auch, wenn die Folge a_n zwar keine monoton fallende, aber eine monoton wachsende Nullfolge ist? Drehen sich dann nicht einfach die Vorzeichen um, das prinzipielle Geschehen (Die Summanden gleichen sich gegenseitig aus) bleibt aber gleich? Siehe dazu auch den Weblink zum Beweis bei der Uni Stuttgart.

Klar. Wenn

$s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$,

dann

$-s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(-a_{n})$.

Ich glaube nicht, dass man das extra dazusagen muss. --NeoUrfahraner 11:11, 5. Dez. 2006 (CET)

Ok, ich sehe ein. Aber für Mathematikunerfahrene ist das IMHO nicht unbedingt gleich ersichtlich. Fragt sich bloß, welche Zielgruppe der Artikel hier hat/haben soll. --Sichtklar 19:17, 7. Dez. 2006 (CET)

Diagramm

Das schematische Diagramm zur Visualisierung einer alternierenden Folge gefaellt mir nicht so recht, da eine Funktion abgebildet ist. Sollten nicht nur "Punkte anstatt Linien" eingezeichnet werden, oder ist diese Zeichenweise eine mir unbekannte Konvention?

Das sehe ich auch so , da die Reihe für n aus N definiert wurde ...

Titel

Die Namensgebung für die Artikel ist nicht konsequent.

• Leibniz-Kriterium
• Cauchykriterium

--85.178.254.75 20:21, 10. Feb. 2008 (CET)

Übersichtlichkeit

Zu Beginn sollte das Kriterium einmal möglichst kompakt formuliert werden:

Eine alternierende Reihe konvergiert, falls die Beträge ihrer Summanden eine (streng) monoton fallende Nullfolge bilden.

Zum ersten Absatz (Definition):

• Was wird Definiert?
• Gegenbeispiele sollten zum besseren Verständnis erst nach den Beispielen aufgeführt werden
• Das Gegenbeispiel könnte noch verschönert werden:

$a_{n}={\begin{cases}0&\mathrm {falls} \ n=0\\{\frac {2}{n}}&\mathrm {falls} \ 0\neq n\ \mathrm {gerade} \\{\frac {1}{n!}}&\mathrm {falls} \ n\ \mathrm {ungerade} \end{cases}}\,$

Dann ist die Teilsumme der ungeraden Glieder sinh(1), insbesondere also konvergent.

--Fishroot 14:27, 1. Jun. 2008 (CEST)