Weinberg-Winkel

Der Weinbergwinkel (nach Steven Weinberg) oder elektroschwache Mischungswinkel $\theta _{W}$ beschreibt den Zusammenhang zwischen elektrischer und schwacher Ladung. Der Zusammenhang ergibt sich in der elektroschwachen Theorie zu

$\alpha _{em}=\alpha _{W}\cdot \sin ^{2}\theta _{W}$

Hierbei bezeichnet $\alpha _{em}$ die elektrische und $\alpha _{W}$ die schwache Kopplungskonstante ($\alpha _{em}$ ist auch als Feinstrukturkonstante bekannt). $\theta _{W}$ ist der Weinbergwinkel. Der momentane Wert beträgt $\sin ^{2}(\theta _{W})=0{,}23122(15)$, also

$\theta _{W}\approx 28{,}74^{\circ }$

Näherungsweise erhält man somit, dass die schwache Kopplung in etwa doppelt so groß ist wie die elektrische:

$e\approx 0{,}5\cdot g$

Die Schwäche der schwachen Wechselwirkung erklärt sich somit nicht über die Kopplungskonstante sondern über den Propagatorterm, in dem die hohe Masse der Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung quadratisch in den Nenner eingeht.

Ursprung

Experimentell (Wu-Experiment) stellt man bei der schwachen Wechselwirkung eine Paritätsverletzung fest, die durch die V-A-Theorie erklärt wird. Das heißt, die geladenen Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung $W^{+}$ und $W^{-}$ koppeln nur an linkshändige Fermionen. Weiterhin stellt man fest, dass Neutrinos in der Natur nur linkshändig vorkommen (Goldhaber-Experiment). Führt man nun einen schwachen Isospin ein, so bilden das linkshändige Elektron und das Neutrino ein schwaches Isospin-Dublett ($T_{3}=\pm 1/2$), das rechtshändige Elektron ein schwaches Isospin-Singulett ($T_{3}=0$).

Betrachtet man nun eine Reaktion vom Typ

$\nu _{e}+X\rightarrow e^{-}+Y$

und fordert eine Erhaltung des schwachen Isospins, so muss das ausgetauschte Boson – hier ein $W^{-}$ – ebenfalls einen Isospin tragen: $T_{3}(W^{-})=-1$. Als Konsequenz daraus ergibt sich ein schwaches Isospin-Triplett, bestehend aus $W^{-}$, $W^{0}$ und $W^{+}$ mit Kopplungsstärke $g$ sowie ein Singulett $B^{0}$ mit Kopplungsstärke $g'$.

Im Rahmen der elektroschwachen Vereinheitlichung werden nun das $Z^{0}$ und das Photon als Mischzustände aus den nicht beobachtbaren Teilchen $W^{0}$ und $B^{0}$ dargestellt:

${\Psi _{\gamma } \choose \Psi _{Z^{0}}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\Psi _{B^{0}} \choose \Psi _{W^{0}}}$

Die $\Psi _{x}$ bezeichnen hier die Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen, die also durch den Weinbergwinkel verknüpft sind. In dieser Beziehung findet der Weinbergwinkel seine Definition. Hieraus ergeben sich auch die Zusammenhänge der Kopplungsstärken $e$, $g$ und $g'$, die letztlich auf die obige Beziehung führen.

Konsequenzen

Als Konsequenz des Mischzustandes und des Weinbergwinkels ergibt sich u. a., dass die Kopplungsstärke des $Z^{0}$ nicht mit der der W-Bosonen identisch ist. Die Kopplungsstärke des $Z_{0}$ an ein Fermion f ist somit gegeben durch

$g_{Z}(f)={\frac {g}{\cos \theta _{W}}}\cdot \left(T_{3}-z_{f}\cdot \sin ^{2}\theta _{W}\right)$

wobei $z_{f}$ Ladung des Fermions in Einheiten der Elementarladung e ist. $T_{3}$ bezeichnet den schwachen Isospin, für linkshändige Neutrinos gilt beispielsweise $T_{3}=1/2$. Rechtshändige Neutrinos haben $T_{3}=z_{\nu }=g_{Z,R}(\nu )=0$ und unterliegen somit nicht den Wechselwirkungen des Standardmodells. Sie sind daher (im Rahmen des Standardmodells) nicht beobachtbar und es wird deshalb auch oft gesagt, sie kämen in der Natur nicht vor (was, so lange wir im Standardmodell bleiben, keinen Unterschied ergibt).

Experimentelle Bestimmung

Der Weinbergwinkel lässt sich experimentell z. B. aus dem Massenverhältnis der W- und Z-Bosonen bestimmen:

${\frac {m_{W}}{m_{Z}}}=\cos \theta _{W}$

Andere Bestimmungsmöglichkeiten sind die Neutrino-Elektron-Streuung und die elektroschwache Interferenz bei Elektron-Positron-Streuung, d. h. die Vermischung des Austausches virtueller Photonen und virtueller $Z^{0}$-Teilchen.