Normalverteilung

Dichten von normalverteilten Zufallsgrößen

Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist die wichtigste kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen in der Grenze $n\rightarrow \infty$ normalverteilt ist.

Viele Prozesse aus Natur und Zivilisation, vor allem solche, in denen mehrere Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken, lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens näherungsweise sehr gut beschreiben.

Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

,

wobei $\sigma$ die Standardabweichung und $\mu$ der Erwartungswert ist.

Ist eine Zufallsvariable $X$ normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ , so schreibt man $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ .

Standardnormalverteilung

Ist der Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1, so spricht man von einer standardnormalverteilten Variable. Eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit beliebigen Parametern kann mittels der Transformation

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

in eine standardnormalverteilte Variable $Z$ überführt werden.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

So sieht die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung aus. Angegeben sind die Intervalle im Abstand 1, 2 und 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0, die rund 68%, 95,5% und 99,7% der Fläche unter der Glockenkurve umfassen. Die gleichen Prozentsätze gelten für alle Normalverteilungen in Bezug auf die entsprechenden Erwartungswerte und Standardabweichungen.

Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung, die nicht direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft aber mit wachsendem n sehr schnell, so dass schon die Verteilung einer Summe von 30 oder 40 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ähnlich ist.

Die Glockenkurve schmückte neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß bis 2001 die 10-DM-Banknote der Bundesrepublik Deutschland.

Zur Arbeit mit Normalverteilungen

Ist eine Zufallsvariable als normalverteilt anzunehmen, kann sie durch die o.a. Transformation ...

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

... in eine Standardnormalverteilung transformiert werden, mit $\sigma$ als Standardabweichung und $\mu$ als Erwartungswert. Die Werte der Standardnormalverteilung sind in zahlreichen Lehrbüchern tabelliert und lassen sich auch durch Tabellenkalkulationen berechnen; durch Ablesung der Werte der Standardnormalverteilung und Rücktransformation der Ergebnisse kann damit jede normalverteilte Zufallsvariable analysiert werden.

Simulation von normalverteilten Zufallsvariablen

Box-Muller-Methode

Nach der Box-Muller-Methode lässt sich eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X$ aus zwei gleichverteilten Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}\sim U(0,1)$ simulieren:

X={\sqrt {(-2\log u_{1})}}\;cos(2\pi u_{2})

Polar-Methode

Die Methode von Marsaglia ist auf einem Computer noch schneller, da sie nur einen Logarithmus benutzt:

Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}=U(0,1)$
Berechne $v=(2u_{1}-1)^{2}+(2u_{2}-1)^{2}$ . Falls $v\geq 1$ wiederhole 1.
$x=(2u_{1}-1)(-2\log v/v)^{1/2}$

Durch lineare Transformation lassen sich hieraus auch beliebige normalverteilte Zufallszahlen generieren: Ist die Zufallsvariable X $N(0,1)$ -verteilt, so ist aX+b schließlich $N(b,a^{2})$ -verteilt.

Zwölferregel

Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt, daß sich die Summe unabhängiger gleichverteilter Zufallszahlen einer Normalverteilung nähert.

Ein Spezialfall ist die Zwölferregel, die sich auf die Summe von 12 Zufallszahlen aus dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt.

Besondere Eigenschaften

Die Normalverteilung ist invariant gegenüber Faltung, d.h. die Faltung einer Gaußkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{a}$ mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{b}$ ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite $\Gamma _{c}={\sqrt {\Gamma _{a}^{2}+\Gamma _{b}^{2}}}$

Die Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der Standardabweichungen dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant, es gilt die Heisenbergsche Unschärferelation.

Mehrdimensionale Normalverteilung

Dichte der zweidimensionalen Standardnormalverteilung

Das Wahrscheinlichkeitsmaß $N^{n}(0,1)$ auf $\mathbb {R} ^{n}$ , das durch die Dichte

f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {1 \over {\sqrt {(2\pi )^{n}}}}\exp {\bigg (}-{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}{\bigg )}

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension n.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf $\mathbb {R} ^{n}$ heißt n-dimensionale Normalverteilung, wenn eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ und ein Vektor $b\in \mathbb {R} ^{n}$ existieren, so dass mit der affinen Abbildung $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\ x\mapsto Ax+b$ gilt: $P=N^{n}(0,1)u^{-1}$ .

Ein Zufallsvektor $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ist standardnormalverteilt auf $\mathbb {R} ^{n}$ genau dann, wenn $X_{1},\ldots ,X_{n}$ standardnormalverteilt und stochastisch unabhängig sind.

Siehe auch: multivariate Normalverteilung

Weblinks

http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/hjawww/glossar/node132.html
http://barolo.ipc.uni-tuebingen.de/pharma/2/2.2/standard_verteil.html
http://www.madeasy.de/2/gauss.htm
- Möglichst verständlich mit Programmcode in Visual Basic

Siehe auch: Wahrscheinlichkeitspapier, Statistik, Multivariate Verteilung, Verteilung von Zufallszahlen