Primzahllücke

Eine Primzahllücke ist der Bereich zwischen zwei Primzahlen. Der kleinste mögliche Abstand zwischen zwei Primzahlen ist 2 (abgesehen von den Primzahlen 2 und 3), er tritt bei allen Primzahlzwillingen auf. Einen größtmöglichen Abstand gibt es dagegen nicht (man kann jeden beliebigen Abstand konstruieren), allerdings gibt es jeweils eine kleinste Zahl, für die ein gewisser Abstand das erste Mal auftritt.

Die folgende Tabelle enthält das jeweils erste Auftreten einer bis dahin größten Primzahlenlücke. Im Bereich um $\;x\;$ läßt sich die bis dahin maximal aufgetretene Primzahlenlücke durch

${\rm {d_{max}}}(x)=(\;\ln \;(x/\ln \,x)-1)^{2}$ . . . $\ln \;(x/\ln \,x)^{2}$

abschätzen. Für $10^{11}$ erhält man einen Abstand von 445 bis 488, der reale Wert liegt bei 463, für $10^{100}$ erhält man einen Abstand von ca. 50000, für $10^{1000}$ erhält man einen Abstand von ca. 5300000.

Die Suche erfolgt durch Anwenden des Siebes des Eratosthenes. Mit derzeitiger PC-Technik (Jahr 2005) hat man den Bereich bis $10^{11}$ in wenigen Stunden durchsucht.

Primzahllücken mit beliebiger Größe existieren, und lassen sich konstruieren

Das die Lücken beliebig groß werden können läßt sich auf mehrere Arten, die alle auf dem gleichen Prinzip beruhen, zeigen. Bestimmt dabei eine Zahl n, die die Größe der zu bestimmenden Primzahllücke sein soll. Als zweites braucht man eine Zahl, die alle möglichen Faktoren zwischen 2 und n als Teiler enthält. Solche Zahlen, die dieses Kriterium erfüllen sind zum Beispiel (n+1)! und kgV(1,..,n+1). Da sich sowohl (n+1)! als auch kgV(1,..,n+1) durch alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und n teilen lassen, läßt sich auch jede Zahl n!+k bzw kgv(1,..,n+1)+k mit $2\leq k\leq n+1$ durch k teilen. Und somit hat man eine Primzahllücke konstruiert, die mindestens aus n Nichtprimzahlen besteht.

Größte Primzahllücke

Die größte bisher gefundene Primzahlücke umfaßt 2254930 Zahlen, und wurde am 1. Januar 2005