Zahlentheorie
Die Zahlentheorie ist ein Bereich der reinen Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.
Diese Zahlen, dem Laien bekannt und leicht zugänglich, machen die Zahlentheorie zu einem populären Teilgebiet.
Je nach Fragestellungen und Anwendungsmethoden wird die Zahlentheorie in folgende Arbeitsgebiete unterteilt.
Die elementare Zahlentheorie kommt ohne die Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete aus. Fragen der Teilbarkeit von Zahlen, Zerlegungen von Zahlen in Primzahlen, der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache fallen in diesen Bereich (Chinesischer Restsatz, Euklidischer Algorithmus). Restklassen und Perfekte Zahlen, Fakultät und Fibonacci-Zahlen gehören ebenfalls hierher. Bekannte Theoreme sind der große Fermatsche Satz und die Verteilung der Primzahlen.
Die analytische Zahlentheorie nutzt Elemente der Analysis und Funktionentheorie. Die Riemannsche Hypothese ist wohl das zentrale Problem dieses Gebietes. Aber auch die Frage nach der Häufigkeit von Primzahlzwillingen und die Goldbachsche Vermutung fallen hierunter. Daneben dienen Methoden der analytischen Zahlentheorie auch dazu, die Transzendenz vom Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen.
Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus. In der Galoistheorie, die aus der Suche nach den Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten entstanden ist, werden Erweiterungen von Körpern betrachtet. In diesem Bereich werden auch die algebraischen Zahlen eingeführt.
In diesem Bereich der Zahlentheorie treten auch Untersuchungen mittels Restklassen (modulo einer Primzahl) auf, die zu endlichen Körpern und P-adischen Zahlen führen.
Die geometrische Zahlentheorie befasst sich mit Gittern, die an regelmäßigen Punkten besetzt sind. Fragen der dichtesten Packung von Kugeln
Anwendung findet die Zahlentheorie heute auf dem Computer, wo Algorithmen zur Faktorisierung und Primzahlbestimmung im Zusammenhang mit der Kryptographie wichtig sind.