Kinetische Energie

Die kinetische Energie (aus gr. kinetikos = die Bewegung betreffend) oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die in der bewegten Masse eines Körpers enthalten ist. Sie hängt von der Masse $m$ und von der Geschwindigkeit $v$ des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird in der theoretischen Physik üblicherweise $T$ verwendet, sonst meist $W_{\mathrm {kin} }$ oder $E_{\mathrm {kin} }$ .

Kinetische Energie in der klassischen Mechanik

Massenpunkt

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse $m$ und seinem Bewegungszustand. Wird der Bewegungszustand durch die Geschwindigkeit $v$ des Massenpunktes beschrieben, so gilt

T={\frac {1}{2}}mv^{2}.

In speziellen Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:

Kartesische Koordinaten (x, y, z):

T={1 \over 2}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})

Ebene Polarkoordinaten ( $r,\phi$ ):

T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)

Zylinderkoordinaten ( $r,\phi ,z$ ):

T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)

Kugelkoordinaten ( $r,\phi ,\theta$ ):

T={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right]+{\dot {r}}^{2}\right)

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit

{\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)

Im Hamilton-Formalismus wird der Bewegungszustand eines Massepunktes nicht durch seine Geschwindigkeit, sondern durch seinen Impuls $p$ ausgedrückt. In diesem Fall gilt

T={\frac {p^{2}}{2m}}.

Starre Körper

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse $M$ und der Geschwindigkeit $v_{\mathrm {s} }$ seines Schwerpunktes kann separiert werden als die Summe seiner Translationsenergie und Rotationsenergie

T={1 \over 2}M{v_{s}}^{2}+{1 \over 2}J_{s}\omega ^{2}

.

Hier ist $J_{\mathrm {s} }$ das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und $\omega$ seine Winkelgeschwindigkeit.

Mit dem Trägheitstensor $I$ wird dies allgemein geschrieben als

T={1 \over 2}M{v_{s}}^{2}+{1 \over 2}{\boldsymbol {\omega }}I{\boldsymbol {\omega }}

.

Hydrodynamik

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines $e$ oder $\epsilon$ ausgedrückt:

e_{kin}={1 \over 2}\rho v^{2}

,

wobei $\rho$ die Dichte bezeichnet.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie stellt sich heraus, dass die oben angegebene klassische Beziehung für die kinetische Energie nur für Geschwindigkeiten gilt, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind. Die allgemeine Beziehung ist

T=(\gamma -1)\ m_{0}\ c^{2}

,

wobei $m_{0}$ die Ruhemasse des Körpers, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $\gamma$ der Lorentzfaktor

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

sind.

Aus der Taylor-Entwicklung nach $v/c$ erhält man

T\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+...

so dass sich für $v\ll c$ wieder der klassische Ausdruck ergibt.

Da $\lim _{v\to c}T=\infty$ , ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit oder gar höher zu beschleunigen.

Das rechts abgebildete Diagramm zeigt die Graphen der relativistischen, sowie der klassischen Beziehung für einen Körper mit der Masse von $m=1\,\mathrm {kg}$ .

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers offenbar vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie, und zwar sowohl in der klassischen als auch in der relativistischen Theorie. In letzterer Theorie bildet die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie die Nullkomponente eines Vierervektors.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert $\langle {\hat {T}}\rangle$ der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse $m$ , welches durch die Wellenfunktion $\vert \psi \rangle$ beschrieben wird, gegeben durch

\langle {\hat {T}}\rangle ={\frac {1}{2m}}\langle \psi |{\hat {P}}^{2}|\psi \rangle

,

wobei ${\hat {P}}^{2}$ der Impuls-Operator des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte $\rho (\mathbf {r} )$ ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für $N$ Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall $N=1$ ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als