Banachraum

Banachräume, benannt nach Stefan Banach, der sie studierte, gehören in der Mathematik zu den zentralen Objekten der Studien der Funktionalanalysis. Banachräume sind üblicherweise unendlich-dimensionale Funktionenräume.

Definition

Banachräume sind definiert als vollständige, normierte Vektorräume. Das bedeutet, dass ein Banachraum ein Vektorraum $V$ über den reellen oder komplexen Zahlen ist mit einer Norm $\|.\|$, so dass jede Cauchy-Folge (mit Rücksicht auf die Metrik $d(x,y)=\|x-y\|)$) einen Grenzwert in $V$ hat.

Beispiele

Im folgenden sei $\mathbb {K}$ einer der Körper $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.

Die vertrauten euklidischen Räume $\mathbb {K} ^{n}$, wo die euklidische Norm von $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ gegeben ist durch $||x||={\sqrt {\sum x_{i}^{2}}}$, sind Banachräume.

Der Raum aller stetigen Funktionen $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {K}$ auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ wird zu einem Banachraum, wenn man die Norm solch einer Funktion als $||f||=\sup\{|f(x)|:x\ in\ [a,b]\}$ definiert. Dies ist in der Tat eine Norm, da stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt sind. Der Raum ist vollständig unter dieser Norm und der resultierende Banachraum wird geschrieben als $C[a,b]$. Dieses Beispiel kann auf den Raum C(X) aller stetiger Funktionen $X\rightarrow \mathbb {K}$ verallgemeinert werden, wobei $X$ ein kompakter Raum ist, oder auf den Raum aller beschränkten stetigen Funktionen $X\rightarrow \mathbb {K}$, wobei $X$ ein beliebiger topologischer Raum ist, oder sogar auf den Raum $B(X)$ aller beschränkten Funktionen $X\rightarrow \mathbb {K}$ wobei $X$ eine beleibige Menge ist. In all diesen Beispielen kann man Funktionen multiplizieren und im selben Raum bleiben: diese Beispiele sind in Wirklichkeit unitäre Banach Algebren.

Sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl, so kann man den Raum aller endlichen Folgen ($x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$) mit Elementen aus $\mathbb {K}$ betrachten so dass die unendliche Reihe ∑ |x_i|^p konvergiert. Diee p-te Wurzel des Wertes dieser Reihe sie dann definiert als die p-Norm der Folge. Der Raum zusammen mit dieser Norm ist ein Banachruam; er wird bezeichnet mit l ^p.

Der Banachraum l^∞ bestaht aus allen beschränkten Folgen mit Elementen aus '$\mathbb {K}$ die Norm solch einer Folge ist definiert als das Supremum der Absolutbeträge der Elemente der Folge.

Wiederum, falls $p\geq 1$ eine reelle Zahl ist, kann man alle Funktionen f : [a, b] -> $\mathbb {K}$ betrachten, wobei |f|^p Lebesgue-integrierbar ist. Die p-te Wurzel aus diesem Integral sei dann die Norm von f. An sich ist dieser Raum noch kein Banachraum, denn es gibt Funktionen, die nicht Null sind, ihre Norm jedoch wohl. Man definiert eine Äquivalenzrelation wie folgt: f und g sind äquivalent genau dann, wenn die Norm von f - g Null ist. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet dann einen Banachraum; er wird bezeichnet mit L ^p[a, b]. Es ist entscheidend, hier das Lebesgue-Integral zu verwenden und nicht das Riemann-Integral, denn das Riemann-Integral würde keinen vollständigen Raum ergeben.

Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt.

Lineare Operatoren

Sind $V$ und $W$ Banachräume über demselben Körper $\mathbb {K}$, so wird die Menge aller stetigen $\mathbb {K}$-linearen Abbildungen $A:V\rightarrow W$ mit $L(V,W)$ bezeichnet.

Man bemerke, dass in unendlich-dimensionalen Räumen nicht alle linearen Abblidungen notwendigerweise stetig sind. L(V, W) ist ein Vektorraum, und indem man die Norm||A|| = sup { ||Ax|| : x in V mit ||x|| ≤ 1 } definiert, kann er in einen Banachraum verwandelt werden.

Der Raum L(V) = L(V, V) bildet sogar eine unitäre Banach-Algebra; die Multiplikationsoperation ist gegeben durch die Komposition linearer Abbildungen.

Ableitungen

Es ist möglich die Ableitung einer Funktion f : V -> W zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls x ein Element von V ist, die Ableitung von f im Punkt x eine stetige lineare Abblidung ist, die f nahe x approximiert.

Formell gesprochen nennt man f differenzierbar in x, falls eine stetige lineare Abbildung A : V -> W existiert, so dass

lim_h->0 ||f(x + h) - f(x) - A(h)|| / ||h||    =     0

Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Ellement aus V gebildet, die gegen 0 konvergieren. Falls der Grenzwert existiert, schriebt man Df(x) = A und nennt es die Ableitung von f in x.

Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen '$\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, da die linearen Abbildungen von $\mathbb {R}$ auf $\mathbb {R}$ einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls $f$ differenzierbar ist in jedem Punkt x aus V, dann ist Df : V -> L(V, W) eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!), und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n-te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung $V_{n}\rightarrow W$ gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: sind f und g zwei Abbildungen V - W, die in x diffenrenzierbar sind, und r und s sind Skalare aus $\mathbb {K}$, dann ist rf + sg differenzierbar in x mit D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).

Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig: falls f : V -> W differenzierbar ist in x aus V und g : W -> X differenzierbar ist in f(x), dann ist die Komposition g o f differenzierbar in x und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen:

D(g o f)(x) = D(g)(f(x)) o D(f)(x)

Dualer Raum

Ist $V$ ein Banachraum und $\mathbb {K}$ der zugrundeliegende Körper, dann ist $\mathbb {K}$ selbst ebenfalls ein Banachraum (mit dem Absolutbetrag als Norm) und man kann den dualen Raum definieren durch $V=L(V,\mathbb {K} )$. Dieser ist wiederum ein Banachraum. Er kann verwendet werden um eine neue Topologie auf $V$ zu definieren: die schwache Topologie.

Es gibt eine natürliche Abbildung $F$ von $V$ auf V'' definiert durch

F(x)(f) = f(x)

für alle x aus $V$ und $f$ aus $V'$. Wie es aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, ist diese Abbildung injektiv; falls sie zudem noch surjektiv ist, so nennt man den Banachraum V reflexiv. Reflexive Räume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften. Ein Raum ist reflexiv genau dann wenn sein Dual reflexiv ist, was der Fall ist genau dann wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist.

Verallgemeinerungen

Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ oder der Raum aller Distributionen auf $\mathbb {R}$, sind zwar vollständig aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume. In Fréchet-Räumen hat man noch eine vollständige Metrik, während LF-Räume vollständige uniforme Vektorräume sind, die als Grenzwerte von Fréchet-Räumen auftauchen.