Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Nach der speziellen Relativitätstheorie folgt wegen der Relativität der Zeit und der Länge die Überlagerung von Geschwindigkeiten einem anderen Gesetz:

Das System S’ bewege sich relativ zum System S mit der Geschwindigkeit v_x in Richtung der X-Achse. Im System S’ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u’ (Komponenten: u’_x, u’_y, u’_z). Dann hat dieser Körper für einen Beobachter in S die Geschwindigkeitskomponenten

$u_{x}={\frac {u_{x}'+v_{x}}{1+{\frac {u_{x}'v_{x}}{c^{2}}}}},\quad u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {u_{x}'v_{x}}{c^{2}}}}},\quad u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {u_{x}'v_{x}}{c^{2}}}}}$

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, so unterscheiden sich sowohl der Nenner als auch der Term unter der Wurzel kaum von 1, und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition. Beispielsweise ist die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit einer Person, die durch einen Zug mit 200 km/h in Bewegungsrichtung des Zuges mit 5 km/h relativ zum Zug läuft, gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen 205 km/h. Zum Vergleich: Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0.1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp 2 Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel.

Herleitung

Um das Formelbild einfach zu halten, verwenden wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurückgelegt und nennen sie eine Sekunde. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt $c=1\,.$ Untersuchungen in anderen Maßsystemen bringen keine tieferen Einsichten.

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von v durch -v)

$t={\frac {t'+v\,x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad x={\frac {x'+v\,t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad y=y'\ ,\quad z=z'$

folgt, da die Transformation linear ist, für die Differentiale

$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} y=\mathrm {d} y'\ ,\quad \mathrm {d} z=\mathrm {d} z'\,.$

Damit ergeben sich die Geschwindigkeiten im ungestrichenen Bezugssystem

$u_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}+v}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{x}'+v}{1+v\,u_{x}'}}\ ,$

$u_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ ,$

$u_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} z'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ .$

Für die Geschwindigkeiten im gestrichenen System gelten die entsprechenden inversen Gleichungen (durch Ersatz von v durch -v und mit allen Faktoren $c$)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle u_x'= \frac{u_x - v}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ , \quad u_y'= \frac{u_y\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ , \quad u_z'= \frac{u_z\sqrt{1 - \frac{v}{c}^2}}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ . }

Folgerungen

Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit

Als Folge dieses Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

Es sei

$v=0.9c,\quad u_{x}'=0.9c$

Dann ist

$u_{x}={\frac {0.9c+0.9c}{1+0.9\cdot 0.9}}\approx 0.99c<c$

und nicht etwa 1.8c.

Erhaltung der Lichtgeschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit im System S' gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch im System S.

Ist z. B.

$u_{x}'=0,\quad u_{y}'=c,\quad u_{z}'=0$

dann ist

$u_{x}=v,\quad u_{y}=c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},\quad u_{z}=0,$

also insbesondere

$u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}=v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=c^{2}$

Weblinks

Wikibooks: Spezielle_Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien