KPP-Gleichung

Die Kolmogorov, Petrovsky, Piscounuv Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung) ist eine partielle Differentialgleichung der Form:

$\partial _{t}u=\partial _{x}^{2}u+u-u^{2}$

Die Gleichung wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren. Sie wird beispielsweise bei der Populationsdynamik und der Beschreibung von chemischen Reaktionen verwendet.

Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm $\partial _{x}^{2}u$ und einem nichtlinearen Reaktionsterm $u-u^{2}$.

Verwendet man eine ortsunabhänige Funktion $u(x,t)=f(t)$, so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung

$\partial _{t}f=f-f^{2}$

An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum $\partial _{t}f=f$ modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm $-f^{2}$ enthält, der z.B. bei chemischen Reaktionen die Sättigung der Konzentration oder bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung steht.

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