Lebesgue-Integral

Das Lebesgue-Integral ist eine Verallgemeinerung des Riemannschen Integrals. Genauer lässt sich zeigen, dass jede Riemann-integrierbare Funktion insbesondere auch Lebesgue-integrierbar ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

So wie ein Riemann-Integral durch die Konvergenz des Flächeninhaltes einer Folge von Treppenfunktionen definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von halbstetigen Funktionen definiert.

Das Lebesgue-Intergral ist nach Henri Léon Lebesgue benannt.

Definition

Sei (Ω, ∑, µ) ein Maßraum. Eine positive Treppenfunktion

$f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}1_{A_{i}}$

wird auch einfache Funktion oder Elementarfunktion genannt, wobei 1_Ai die charakteristische Funktion, α_i eine positive, reelle Zahl und A_i messbare Mengen sind.

Das Integral für einfache Funktionen wird mittels

$\int _{\Omega }fd\mu =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mu (A_{i})$

definiert.

Eine positive Funktion $f:(\Omega ,\Sigma ,\mu )\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},B)$, B Borelsche σ-Algebra, ist genau dann messbar, wenn es eine Folge f_n von einfachen Funktionen gibt, die gegen f konvergiert. Das Integral einer positiven, messbaren Funktion definieren wir als

$\int _{\Omega }fd\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu ,$

wobei f_n einfach sind und gegen f konvergieren.

Der Positivteil f⁺ einer Funktion f ist definiert als

$f^{+}=\max(f,0).$

Der Negativteil f^- wird entsprechend durch f^-=(-f)⁺ definiert.

Gilt $\int _{\Omega }f^{+}d\mu <\infty$ oder $\int _{\Omega }f^{-}d\mu <\infty$, so nennen wir f quasiintegrierbar und definieren

$\int _{\Omega }fd\mu =\int _{\Omega }f^{+}d\mu -\int _{\Omega }f^{-}d\mu .$

Gilt $\int _{\Omega }f^{+}d\mu <\infty$ und $\int _{\Omega }f^{-}d\mu <\infty$ wird f integrierbar oder genauer µ-integrierbar genannt. Dies ist genau dann der Fall, falls $\int _{\Omega }|f|d\mu <\infty$.

Lemma

Das Integral ist linear.

Das Integral ist monoton, d.h. sind f, g zwei messbare Funktionen mit $f\leq g$, so gilt $\int _{\Omega }fd\mu \leq \int _{\Omega }gd\mu$.

Ist eine Funktion Riemann-integrierbar, so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Integralwerte stimmen überein. Eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion muss jedoch nicht Lebesgue-integrierbar sein.

Satz

Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi, 1906)

Ist $(f_{n}:(\Omega ,\Sigma ,\mu )\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},B)$ eine Folge von positiven, messbaren Funktionen, so gilt

$\int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu$.

Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz (Henri Léon Lebesgue, 1910)

Seien $f,f_{n},g:(\Omega ,\Sigma ,\mu )\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},B),n\in \mathbb {N}$ messbare Funktionen mit $f_{n}\rightarrow f$ µ fast überall (bis auf eine Nullmenge) und g positiv. Gilt $|f|\leq g$ µ-f.ü. für alle n, so erhalten wir

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu =\int _{\Omega }fd\mu$

und

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }|f-f_{n}|d\mu =0.$