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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator , der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace .
Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen .
Für den Fall von n Variablen ist er definiert als
Δ
=
∇
→
2
=
∑
k
=
1
n
∂
2
∂
x
k
2
.
{\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}
Dabei ist
∇
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}}
Nabla-Operator . Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise
Δ
φ
=
div
(
grad
φ
)
=
∇
→
⋅
(
∇
→
φ
)
{\displaystyle \Delta \varphi =\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,\varphi \right)={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\varphi \right)}
möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient . Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich
Δ
φ
=
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}}
in Polarkoordinaten mit
φ
(
r
,
ϕ
)
{\displaystyle \varphi (r,\phi )}
Δ
φ
=
∂
2
φ
∂
r
2
+
1
r
⋅
∂
ϕ
∂
r
+
1
r
2
∂
2
φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}\cdot {\partial \phi }{\partial r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}}
und im dreidimensionalen analog
Δ
φ
=
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
+
∂
2
φ
∂
z
2
{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}}
in Zylinderkoordinaten
Δ
φ
=
1
r
⋅
∂
∂
r
(
r
⋅
∂
φ
∂
r
)
+
1
r
2
⋅
∂
2
φ
∂
ϕ
2
+
∂
2
φ
∂
z
2
{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}}
in Kugelkoordinaten
Δ
φ
=
1
r
2
(
∂
∂
r
(
r
2
⋅
∂
φ
∂
r
)
+
1
s
i
n
ϑ
⋅
∂
∂
ϑ
(
s
i
n
ϑ
⋅
∂
φ
∂
ϑ
)
+
1
s
i
n
2
ϑ
⋅
∂
2
φ
∂
ϕ
2
)
{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{sin\vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(sin\vartheta \cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{sin^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}\right)}
Für eine Funktion in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
Δ
a
→
{\displaystyle \Delta {\vec {a}}}
Δ
a
→
=
grad
(
div
a
→
)
−
rot
(
rot
a
→
)
{\displaystyle \Delta {\vec {a}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {a}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {a}}\right)}
Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung
Δ
φ
=
0
{\displaystyle \Delta \varphi =0}
auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen .
Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.
Siehe auch: Gradient , Divergenz , Rotation .
