Potentielle Energie

Die Potenzielle Energie ist eine der Formen von Energie in der Physik. In der Mechanik versteht man unter der potenziellen Energie die Lageenergie eines Körpers. Sie entspricht in ihrer Größe der an ihm (vorher) verrichteten (Hub-)Arbeit.

Im Prinzip besitzt jeder ruhende, massebehaftete Körper in einem Kraftfeld potenzielle Energie. Die potenzielle Energie ist gleich der kinetischen Energie (Bewegungsenergie), die das Objekt gewönne, wenn es der Kraft folgen, das heißt sich frei bewegen könnte.

So besitzt ein Springer auf einem Sprungturm vor dem Absprung potenzielle Energie, auch ein Wagen, nachdem er eine Achterbahnstrecke hinaufgezogen wurde, vor der Hinunterfahrt und auch ein Fallschirmspringer, der das Flugzeug gerade verlassen hat, ebenso das in einem Stausee aufgestaute Wasser, ehe es durch Fallrohre hinabstürzt, aber auch die Wassertropfen, die bei Regen aus den Wolken zur Erde fallen, verfügen über potenzielle Energie.

Potenzielle Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem geschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz:

$E_{pot}+E_{kin}={konstant}$

• E_pot - Potenzielle Energie
• E_kin - Kinetische Energie

Ein alltägliches Beispiel ist die Position eines Objekts im Gravitationsfeld der Erde, beispielsweise eine auf einem Tisch liegende Kugel. Rollt sie über den Tischrand, beschleunigt sie bis zum Boden, das heißt gewinnt kinetische Energie; bei ihrem Aufschlag wiederum wird normalerweise ihre gewonnene kinetische Energie durch Reibungsverluste in Wärmeenergie umgesetzt.

Potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

Für die Funktion $E_{pot}(r)$ der potenziellen Energie eines Massepunktes $m$ und der Masse $M$ eines Planeten gilt allgemein

$dE_{pot}(r)=-F\cdot ds=-\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)\cdot ds$

Wobei $F$ die von dem Planeten auf den Massenpunkt ausgeübte Gravitationskraft und $ds$ eine beliebige Verschiebung der Höhe des Systems seien. Unter einer solchen Verschiebung ändert sich die potenzielle Energie um

$dE_{pot}(r)=-F\cdot ds=-F\cdot dr=-\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)\cdot dr={\frac {GMm}{r^{2}}}\cdot dr$

Wenn der Massenpunkt von einer Höhe $r_{1}$ zu einer Höhe $r_{2}$ gebracht wird, so ändert sich seine potenzielle Energie um

$E_{pot}(r_{2})-E_{pot}(r_{1})=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dE_{pot}\,\mathrm {d} r=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {GMm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r={\frac {GMm}{r_{1}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Die potenzielle Energie des Massenpunktes möge auf der Planetenoberfläche $R_{p}$, also $r_{1}=R_{p}$, gleich Null sein, womit

$E_{pot}(r_{2})-E_{pot}(R_{p})=E_{pot}(r_{2})-0={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Damit ergibt sich für eine beliebige Höhe $r$ mit $r>R_{p}$

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

Schreiben wir die potenzielle Energie als Funktion einer Höhe $h=r-R_{p}$ über der Planetenoberfläche, so ist sie vergleichbar mit $mgh$.

Dann ist

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {GMm}{R_{p}r}}\left(r-R_{p}\right)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h$

Mit der Schwerebeschleunigung $g=GM/R_{p}^{2}\rightarrow GM=gR_{p}^{2}$ vereinfacht sich die Formel zu

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h=m\left({\frac {GM}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=m\left({\frac {gR_{p}^{2}}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=mgh{\frac {R_{p}}{r}}$

Die potenzielle Energie ist also ein $mgh$-faches von $R_{p}/r$. In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche sind $R_{p}$ und $r$ nährungsweise gleich, womit die potenzielle Energie in einem solchen Fall mit $mgh$ approximiert wird. Es ist zu beachten dass die potenzielle Energie mit steigendem $r$ nicht unendlich anwächst, sondern vielmehr aus

$E_{pot}(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

ersichtlich ist, dass der zweite Term der nämlichen Gleichung mit steigendem $r$ gegen Null strebt, weshalb sich die potenzielle Energie einem maximalen Grenzwert der Größe

$E_{pot.max}={\frac {GMm}{R_{p}}}=mgR_{p}$, mit $GM=gR_{P}^{2}$

annähert.

Direkte Herleitung der maximalen potenziellen Energie

Um einen Massenpunkt $m$ um eine Strecke $dr$ anzuheben, muss die Arbeit $dW=F\cdot dr$ geleistet werden, wobei $F$ der Gravitationskraft des Planeten entspricht. Um den nämlichen Massenpunkt von einer Planetenoberfläche $R$ aus dem Gravitationsfeld heraus, also in die Undendlichkeit, zu befördern, muss die maximale potenzielle Energie des Gravitationsfeldes des Planeten gerade erreicht oder übertroffen werden. Für diese gilt also

$W=E_{pot.max}=\int _{R}^{\infty }dW\,\mathrm {d} R=\int _{R}^{\infty }{\frac {GMm}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\int _{R}^{\infty }{\frac {1}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\left[-{\frac {1}{R}}\right]_{R}^{\infty }$ $=GMm\left(0-\left(-{\frac {1}{R}}\right)\right)=GMm\cdot {\frac {1}{R}}={\frac {GMm}{R}}=mgR$

Potenzielle Energie einer gespannten Feder

$E_{pot}={1 \over 2}\cdot D\cdot s^{2}$

• D = Federkonstante
• s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Siehe auch

kinetische Energie, Rotationsenergie, Potential