Differentialform

Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Die Endung "-form" deutet an, dass Differentialformen spezielle Multilinearformen sind. Differentialformen sind ein grundlegenes Konzept der Differentialgeometrie.

Definition

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Differentialform der Ordnung $k$ auf $M$ ist ein Schnitt des Bündels $\bigwedge {}^{k}T^{*}M$ , also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine alternierende $k$ -lineare Form auf dem Tangentialraum zuordnet.

In einer Karte $(U,\phi )$ hat eine $k$ -Form die Form

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

wobei $dx^{1},\ldots ,dx^{n}$ die zur Karte $(U,\phi )$ gehörige Basis des Cotangentialbündels $T^{*}M$ bezeichnet. Die Menge aller $k$ -Formen auf $M$ , die man mit $\Omega ^{k}(M)$ bezeichnet, bildet einen $\mathbb {R}$ -Vektorraum und einen $C^{\infty }(M)$ -Modul. Mit

$\Omega (M):=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M)$

bezeichnet man den $C^{\infty }(M)$ -Modul aller Differentialformen auf $M$ , der mit dem Keilprodukt eine graduierte $\mathbb {R}$ -Algebra ist.

Operation auf Differentialformen

Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung $d$ ist eine Abbildung, die eine $k$ -Form auf eine $(k+1)$ -Form abbildet. Die äußere Ableitung ist nilpotent: $d^{2}=0$ . In lokalen Koordinaten sieht das wie folgt aus: Ist

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

eine $k$ -Form, so ist

$d\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}da_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\sum _{i,i_{1},\ldots ,i_{k}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$