Benutzer:Schuermann

Vertiefung zur Unbestimmtheitsrelation von Heisenberg

Einleitung

Eine Besonderheit bei Messungen im atomaren Bereich ist die Wechselwirkung zwischen Objekt und Messgerät, welche mit jeder experimentellen Beobachtung zwangsläufig verbunden ist . Dieser Umstand hat zur Folge, dass im Allgemeinen die Experimente zur Bestimmung einer physikalischen Größe die zuvor gewonnene Kenntnis anderer Größen in unkontrollierbarer Weise beeinflussen bzw. ändern. Verfolgt man diese Beeinflussung quantitativ, so findet man, dass in vielen Fällen für die gleichzeitige Kenntnis verschiedener Variablen eine endliche Genauigkeitsgrenze existiert. Letztere kann nicht unterschritten werden und wird im Rahmen der Unbestimmtheitsrelationen quantifiziert.

Die spezielle Form der Unbestimmtheitsrelationen ist abhängig von den zu beobachtenden physikalischen Größen und der speziellen Art des betrachteten Messprozesses. Hinzu kommt, dass eine eindeutige Quantifizierung der Begriffe Ungenauigkeit oder Unbestimmtheit notwendig ist, da andernfalls keine mathematisch präzise Formulierung von Ungleichungen möglich bzw. beweisbar ist.

Betreibt man historische Nachforschungen zur Heisenberg'schen Unbestimmtheitsbeziehung, so findet man in Heisenbergs berühmter Vorlesung vom Frühjahr 1929 an der Universität Chicago eine interessante Literaturquelle . Die Vorlesung in Chicago war für Heisenberg eine gute Gelegenheit, noch einmal die Prinzipien der Quantentheorie, die er im gemeinsamen Diskurs mit Niels Bohr und weiteren Physikern (darunter auch Schrödinger und Einstein) gewonnen hatte, in der Öffentlichkeit zusammenfassend vorzustellen. Denn seit den abschließenden Untersuchungen Bohrs im Jahre 1927 hatte sich an den grundlegenden Erkenntnissen nichts Wesentliches geändert und manche neueren Experimente hatten die wichtigen Konsequenzen der Theorie bestätigt.

In dem Manuskript beginnt Heisenberg im zweiten Kapitel mit einer Kritik grundlegender physikalischer Begriffe des Teilchenbildes und der Messbarkeit von Ort und Geschwindigkeit mikroskopischer Objekte wie z.B. Elektronen. Er erläutert zunächst, dass die endliche Genauigkeit Δx, mit welcher der Ort eines Elektrons bekannt sein kann, durch eine Wellenfunktion beschrieben werde, deren Amplitude nur in einem kleinen Bereich von der ungefähren Größe Δx merklich von Null verschieden ist. Eine derartige Wellenfunktion kann man sich stets aus einer Anzahl von Teilwellen vorstellen, welche sich so überlagern, dass sie sich in dem kleinen Raumbereich Δx (hier 1-dimensional gedacht) gegenseitig verstärken, sich aber außerhalb desselben größtenteils gegenseitig auslöschen. Ein derartiges Gebilde bezeichnet Heisenberg als Wellenpaket.

Die Geschwindigkeit des Wellenpakets entspricht der Geschwindigkeit des Elektrons. Jedoch betont Heisenberg, dass durch die Geschwindigkeit des Wellenpakts keine genaue Geschwindigkeit definiert ist, da das Wellenpaket sich - abgesehen von der Vorwärtsbewegung - zusätzlich ausbreitet und zerstreut. Diese Zerstreuung gibt gemäß Heisenberg Anlass zu einer Unbestimmtheit in der Definition des Impulses ( = Masse × Geschwindigkeit) vom Betrag Δp. Es sei hier angemerkt, dass die derart von Heisenberg eingeführten Maße für die Ungenauigkeit zunächst noch nicht als Streuungen im statistischen Sinne verstanden werden.

Nun bedingt in der Quantenphysik die Existenz des Planck'schen Wirkungsquantums h eine endliche Wechselwirkung zwischen dem atomaren Objekt (Elektron) und dem Messapparat, wodurch die Genauigkeiten begrenzt werden, mit der z.B. die Position x und der Impuls p des Objektes zugleich gemessen werden können. Diese grundlegende Beschränkung formalisiert Heisenberg mittels Ungleichung (1) seines Manuskriptes wie folgt

$\Delta x\Delta p\gtrsim h$   　  　 　  　 (1)

Der besondere Verdienst von Heisenberg und Bohr liegt u.a. darin begründet, diese Ungleichung mittels heuristischer Vorgehensweise in den damals zur Diskussion stehenden Gedankenexperimenten plausibel gemacht zu haben. Eine heuristische Herleitung von (1) durch einfache Ortsbestimmung lässt sich nach Heisenberg beispielsweise wie folgt durchführen:

Datei:Einzelspalt.jpg

Ortsmessung eines Teilchens mit dem Spaltexperiment. Die Genauigkeit Δx der Ortsmessung entspricht der Breite des Spaltes.

Der Impuls p des betrachteten Teilchens wird zunächst als bekannt vorausgesetzt (monochromatische Welle). Dann wird ein Strahl möglicher Elektronenbahnen durch einen Schirm mit einem Spalt der Breite Δx ausgeblendet (siehe Abbildung rechts). Geht das Objekt durch den Spalt hindurch, so ist in diesem Moment sein Ort in Richtung parallel zum Schirm mit der Genauigkeit Δx des Spaltes festgelegt, -es findet eine Reduktion der Wellenfunktion statt. Die Ausblendung des Strahls ist mit einer räumlichen Ablenkung des Objektes um den Öffnungswinkel α verbunden (Beugung) und die Ränder des Spaltes sind nach dem Huygenschen Prinzip jeweils Ausgangspunkte für Elementarwellen. Damit das erste Interferenzminimum auf dem Schirm noch optisch erkennbar ist, muß der Gangunterschied mindestens so groß sein wie die "de Brogliewellenlänge" des Teilchens, d.h.

$\Delta x\sin \alpha \gtrsim \lambda$.

Andererseits ergibt sich nach den elementaren Gesetzten der Trigonometrie, dass die entsprechende Ungenauigkeit Δp für den Impuls der Gleichung

$\Delta p=p\cdot \sin \alpha$

genügen muß. Aus diesen beiden Gleichungen läßt sich der Sinus formal eliminieren und mit Hilfe der de Broglie-Beziehung p=h/λ ergibt sich die Heisenberg-Relation (1).

Diese Art von Herleitung macht deutlich, dass die von Heisenberg angegebene Relation (1) keine Ungleichung im streng mathematischen Sinn darstellen kann, sondern lediglich eine Art "Ähnlichkeitsrelation" ist. Aus der Argumentation von Heisenberg und Bohr geht jedoch hervor, dass der zugrundeliegende Messprozess in Bezug auf Gedankenexperimente mit einzelnen Teilchen bezogen ist.

Bevor Heisenberg in seinem Manuskript mit der Diskussion seiner Relation an verschiedenen Messinstrumenten fortfährt (Kapitel II.2. Seite 15), zitiert er eine Arbeit von Kennard . In dieser Publikation werden die von Heisenberg diskutierten Unbestimmtheiten Δx und Δp als statistische Streuungen σ_x und σ_p interpretiert und anschließend eine mathematisch stringente Herleitung einer "Streuungs-Ungleichung" aufgezeigt, mit dem Ergebnis

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$   　  　 　  　 (2)

Im Rahmen des quantenmechanischen Formalismus ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und damit die Streuungen σ_x und σ_p aus der zugehörigen Wellenfunktion ψ. Die Relation (2) folgt dann aus dem Umstand, dass die Wellenfunktionen bezüglich Ort und Impuls über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Die Fouriertransformierte eines lokal begrenzten Wellenpakets ist nun wiederum ein Wellenpaket, wobei das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht, die der obigen Unschärferelation (2) entspricht.

Der Messprozess

Ein wesentlicher Unterschied der beiden Ungleichungen (1) und (2) liegt insbesondere in dem jeweilig zugrunde gelegten Messprozess. Bei der Streuungs-Relation (2) bezieht sich die Messung der Streuungen σ_x und σ_p von Ort und Impuls auf unterschiedliche Experimente, für die jeweils der gleiche Ausgangszustand der Wellenfunktion ψ vorausgesetzt wird. Daher ist es im Allgemeinen nicht möglich, in diesem Fall von einer Einteilcheninterpretation zu sprechen; denn der Zustand ψ des Teilchens wird durch die erste am Objekt vorgenommene Messung bereits verändert (Reduktion der Wellenfunktion).

Aufgrund ihrer mathematisch stringenten Herleitbarkeit im Rahmen der Quantentheorie erlangte die Ungleichung (2) zunehmend an Popularität und erhielt weitverbreiteten Einzug in die Lehrbuchliteratur u.a. als Heisenberg-Relation oder Unschärferelation von Heisenberg.

Nun kann aber der physikalische Inhalt der Relation (1) nicht vollständig durch die Streuungs-Relation (2) abgedeckt werden. Letzteres liegt einerseits an der Unterschiedlichkeit der jeweils zugrunde liegenden Messprozesse. Andererseits ist aber auch nicht für jeden Messprozess die Endlichkeit der statistischen Streuungen in der Relation (2) gewährleistet. In der weiter oben angesprochenen Ortsmessung durch das Spaltexperiment ist speziell eine Verwendung der statistischen Streuung σ_p als Maß für die Impulsungenauigkeit unbrauchbar, da deren Berechnung in diesem Fall einen unendlichen Wert ergeben würde.

Empirische Überprüfung der Heisenberg-Relation

Für eine empirische Prüfung der Heisenberg-Relation (1) im Rahmen von Experimenten, wie sie Bohr und Heisenberg in Kopenhagen diskutierten, ist beispielsweise die Ortsmessung am Einfachspalt geeignet (so.). Wählt man darin die Spaltbreite Δx bzw. die Impulsgenauigkeit Δp derart aus, dass sie der Ungleichung (1) widersprechen, so würde ein einziges erfolgreiches Messereignis (eine Registrierung) genügen um (1) zu falsifizieren. Dass eine solche Falsifikation möglich ist wurde bereits von K. Popper 1934 in seinen erkenntnistheoretischen Abhandlungen zur Unbestimmtheitsrelation ausführlich erörtert. Gelöst wird dieser Widerspruch durch die Argumentation, dass die Ungleichung (1) im Rahmen der Quantenmechanik nur wahrscheinlichkeitstheoretisch überprüft werden darf, ebd., S.167. Einen formalen Ausdruck, welcher eine empirisch prüfbare Wahrscheinlichkeitsaussage zu (1) macht, wird von Popper nicht angegeben.

Für eine quantitative Formalisierung der Argumentation Poppers vergegenwärtige man sich, dass Relation (1) gemäß Heisenberg folgendes bedeutet:

1. Es ist unmöglich, nach einer Messung des Ortes mit einer Genauigkeit Δx den Impuls genauer zu bestimmen als es die Ungleichung (1) vorgibt.

Für ein Objekt in einem beliebigen Teilchenzustand ψ sei im Folgenden P(Δp|Δx;ψ) die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, nach einer erfolgten Messung des Ortes mit der Genauigkeit Δx einen Impuls mit der Genauigkeit Δp zu erhalten. Mit dieser Bezeichnung lässt sich die Aussage 1. vom wahrscheinlichkeitstheoretischen Standpunkt folgendermaßen formulieren:

2. Die Wahrscheinlichkeit P(Δp|Δx;ψ) dafür, nach einer erfolgreichen Messung des Ortes mit einer Genauigkeit Δx den Impuls genauer zu bestimmen als es die Ungleichung (1) vorgibt, ist gleich Null.

Mit der Definition des Parameters

$\xi ={\frac {\Delta x\Delta p}{h}}$   　 　 　  　  　 　 　   (3)

kann die Ungleichung (1) bzw. die Aussagen 1. und 2. dann folgendermaßen formalisiert werden

$P(\Delta p|\Delta x;\psi )\leq \Theta (\xi -1)$   　  　 　  　 (4)

wobei Θ(x) dabei die gewöhnliche Heaviside'sche Stufenfunktion ist, d.h. Θ(x) = 1 für x > 0 und Null andernfalls. Bei dieser Darstellung wurde die Relation "≥" verwendet und nicht die in Ungleichung (1) angegebene "Ähnlichkeitsrelation". Letzteres ist jedoch für die folgenden Betrachtungen nicht ausschlaggebend.

Für Messungen, deren Genauigkeiten die Relation (1) nicht erfüllen, verschwindet die rechte Seite von (4), so dass die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Messvorgang gleich 0 ist. Im umgekehrten Fall, wenn Relation (1) erfüllt ist, ergeben sich gemäß (4) keine Beschränkungen für die Wahrscheinlichkeit, derartige Messereignisse vorzufinden. In diesem Sinne erscheint es offensichtlich, die Formulierung (4) als ein Äquivalent für die Unbestimmtheitsrelation (1) zu betrachten. Für eine umgekehrte Messreihenfolge von Ort und Impuls, d.h. eine Ortsmessung wird im Anschluss an eine erfolgreiche Impulsmessung vorgenommen, ist die Formulierung (4) ebenfalls äquivalent, da die Unbestimmtheiten für Ort und Impuls in der Definition von ξ = ΔxΔp/h lediglich als Produkt vorkommen.

Nun ist die formale Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeiten in der Quantentheorie bereits weit entwickelt worden . Bezogen auf die hier vorliegende Fragestellung bezeichnet P(Δp|Δx;ψ) die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, nach einer erfolgten Messung des Ortes mit der Genauigkeit Δx einen Impuls mit der Genauigkeit Δp zu erhalten (so.). Die hier betrachtete Messwahrscheinlichkeit ist daher von fünf Parametern abhängig, d.h. zunächst von den Intervallen Δx und Δp, welche in dem hier vorliegenden Fall die Ungenauigkeiten der Messung repräsentieren und vor der Messung vom Experimentator fest vorgegeben werden. Weiter ist die Wahrscheinlichkeit von der Wellenfunktion ψ des Teilchens abhängig. Diese Abhängigkeit ist repräsentativ für die Verschränkung von Beobachter und Messobjekt in der Kopenhagener-Interpretation der Quantenmechanik. Die restlichen Parameter sind die absoluten Werte von x und p auf der Orts- bzw. Impulsskala des Messinstrumentes.

Entsprechend der Betrachtungen Poppers kann die Ungleichung (4) nun kein Ausgangspunkt für eine Prüfung von (1) im formalen Rahmen der Quantentheorie sein, - wie das folgenen Beispiel belegt.

Messwahrscheinlichkeit bei der Ortsmessung am Einfachspalt

Am Fall der oben beschriebenen Orts- und Impulsmessung am Einzelspalt soll die Messwahrscheinlichkeit berechnet werden. Die Spaltbreite entspreche wieder der Ungenauigkeit Δx der Ortsmessung, und der Spalt befinde sich am Ort x=0. Durch die Ortsmessung wird eine Reduktion der Wellenfunktion bewirkt, so dass die Wellenfunktion danach durch

${\tilde {\psi }}(x)={\frac {1}{\sqrt {\Delta x}}}$

für |x|<Δx und 0 sonst gegeben ist. Damit ist der Einfluss auf das Teilchen durch die Ortsmessung vollständig erfolgt. Durch Fouriertransformation dieses neuen Zustands erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte, welche für die anschließende Impulsmessung grundlegend ist. Formal ergibt sich dafür

${\tilde {\psi }}(p)={\frac {2\hbar }{\pi \Delta x}}{\frac {|\sin({\frac {\Delta x}{2\hbar }}p)|^{2}}{p^{2}}}$.

Die gesuchte Messwahrscheinlichkeit erhält man formal durch die Integration über den relevanten Impulsbereich der Ungenauigkeit

$P(\Delta p|\Delta x;\psi )=\int _{-\Delta p/2}^{\Delta p/2}|{\tilde {\psi }}(p)|^{2}dp$

mit dem Ergebnis

$P(\Delta p|\Delta x;\psi )={\frac {2}{\pi }}\left[{\text{Si}}(\pi \xi )-{\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin({\frac {\pi \xi }{2}})^{2}}{\xi }}\right]$   　  　 　  　 (5)

Datei:Heisenberg Relation.jpg

Darstellung vom möglichen und unmöglichen Messprozessen. Die Heisenberg-Relation (1) schließt Messprozesse aus, die möglich sind. Daher ist sie keine obere Schranke der Messwahrscheinlichkeit.

In dieser Formel ist Si(x) das sog. sine-integral, und der Parameter ξ wurde bereits weiter oben definiert (vgl. (3)). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist in dem hier betrachteten Beispiel ausschließlich von dem Produkt der Unbestimmtheiten abhängig.

Das Ergebnis wird in der Abbildung rechts mit der "Heisenberg-Stufe" verglichen. Es ist sofort ersichtlich, dass (4) keine obere Schranke sein kann, denn es gibt eine unendliche Menge von Messprozessen, die der Relation (1) widersprechen. Dabei handelt es sich um die Beiträge mit positiver Wahrscheinlichkeit, links von der "Heisenberg-Stufe".

Die kleinste obere Schranke der Messwahrscheinlichkeit

Es stellt sich unmittelbar die Frage nach der Existenz einer kleinsten oberen Schranke für die Messwahrscheinlichkeit P(Δp|Δx;ψ). Im Rahmen der Quantentheorie lässt sich diese Fragestellung mathematisch als ein Variationsproblem im Hilbertraum formulieren. Die Lösung dieses Variationsproblems ergibt die Ungleichung

$P(\Delta p|\Delta x;\psi )\leq \xi \left[R_{00}^{(1)}(\pi \xi /2,1)\right]^{2}$   　  　 　  　 (6)

für alle Teilchenzustände ψ des Hilbertraums. Die Funktion in der rechteckigen Klammer ist eine sog. Radiale Spheroidale Wellenfunktion 1. Art. Man beachte, dass die obere Schranke unabhängig von der Wellenfunktion ψ des Teilchens ist. Diese Unabhängigkeit macht die Ungleichung universell. Im Folgenden wird die rechte Seite der Ungleichung (6) mit λ₀(ξ) bezeichnet und ist in der Abbildung in rot dargestellt.

Gemäß Heisenberg's Relation (1) werden alle Messereignisse mit Genauigkeiten links von der Stufe ausgeschlossen. Die Heisenberg-Stufe und die Schranke λ₀(ξ) schneiden sich bei ξ=1, wo der Wert der Schranke λ₀(1) = 0.78. Demanch ist die Wahrscheinlichkeit für Genauigkeiten, für die das Gleichheitszeichen in (1) gilt, lediglich 0.78. Für alle Messprozesse mit ξ>1 ist die Schranke der Ungleichung (4) echt größer als λ₀(ξ) und somit trivial. Wie in der Abbildung zu sehen ist befindet sich der Messprozess des Spaltexperimentes bereits in der Nähe der Schranke (6).

Die Spheroidfunktion in (6) ist in der gängigen Software wie z.B. Matlab oder Mathematica noch nicht standardmäßig enthalten. Für Matlab gibt es ein spezielles Programmpaket in dem solche speziellen Funktionen enthalten sind.

Eine leichter zu berechnende obere Schranke für die Messwahrscheinlichkeit, die dem exakten Ergebnis in (6) bis auf höchstens 1% Abweichung entspricht ist

$P(\Delta p|\Delta x;\psi )\leq {\text{erf}}({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {\Delta x\Delta p}{h}})$   　  　 　  　 (7)

wobei erf(·) die gewöhnliche Fehlerfunktion ist. Der Unterschied zu λ₀(ξ) ist in der Abbildung kaum zu erkennen. Für kleine Werte von ξ ≈ 0 gilt λ₀(ξ) ≈ ξ.

Eine empirische Prüfung von (7) ergibt sich wie folgt: Man betrachte eine Gesamtheit von N Teilchen, die jeweils im gleichen Quantenzustand ψ sind. Für jedes Teilchen wird nach jeder Ortsmessung eine Impulsmessung vorgenommen. Die entsprechenden Genauigkeiten seien Δx und Δp. Unter der Voraussetzung, dass N Teilchen den Spalt durchlaufen haben, wird die absolute Häufigkeit n der erfolgreichen Impulsmessung ermittelt. Für große Stichproben N darf der Schätzer n/N für die Wahrscheinlichkeit P(Δp|Δx;ψ), nach dem Gesetz der großen Zahlen, die Schranke in Ungleichung (7) nicht überschreiten.

Uneinheitlichkeit in der Literatur

1. Würde man in der Relation (1) auf der rechten Seite den Wert ħ anstatt h verwenden, wie es z.B. von Landau und Lifschitz gemacht wird, so ergäbe sich die folgende Situation: In der Ungleichung (6) würde ξ = 1/2π eine Schranke λ₀ ≈ 0.16 ergeben. Während Heisenberg in (1) Messprozesse mit Wahrscheinlichkeiten von 0.78 als "brauchbare" Messungen klassifiziert, wäre das in diesem Beispiel bereits für eine Wahrscheinlichkeit von 0.16 der Fall. Eine solche Klassfikation wäre zweifelhaft. Beispielsweise ist eine Waage, die nur in (höchstens!) 16% der Wägungen das Gewicht im Rahmen der Genauigkeit anzeigt, als unbrauchbar anzusehen.

2. Würde man in der Relation (1) auf der rechten Seite sogar ħ/2 anstatt h verwenden, so ergäbe ξ = 1/4π eine Schranke von λ₀ ≈ 0.08. In diesem Fall würden offensichtlich extrem unwahrscheinliche Messprozesse als brauchbare Messgeräte klassifziert werden. Das wäre unsinnig, da praktisch kein eindeutiges Messergebnis mehr zustande kommen würde (vgl. Beispiel 1).

Referenzen

Conditional measurement probability

Let O be an observable, and suppose that it has discrete eigenvalues $O_{1},O_{2},O_{3},...$, associated with eigenspaces $V_{1},V_{2},...$ respectively. Let $P_{n}$ be the projection operator into the space $V_{n}$.

Assume the system is prepared in the state described by the density matrix ρ. Then measuring O can yield any of the results $O_{1},O_{2},O_{3},...$, with corresponding probabilities given by

$\Pr(O_{n})=\mathrm {Tr} (P_{n}\rho )$

where Tr denotes trace.

Let further U be a second observable, and suppose that it has discrete eigenvalues $U_{1},U_{2},U_{3},...$, associated with eigenspaces $W_{1},W_{2},...$. Then the conditional probability of $O_{n}$ given $U_{m}$ is

$\Pr(O_{n}|U_{m})={\frac {\mathrm {Tr} (P_{n}P'_{m}\rho P'_{m})}{\mathrm {Tr} (P'_{m}\rho )}}$.

where $P'_{m}$ is the projection operator into the space $W_{m}$. This definition is sometimes calles Lüders Rule. It should be mentioned, that not everything that is true in classical probability theories will be true of the more general quantum probability theories. It is well known, that Kolmogorov's third axiom fails in quantum probability. Another important differnence is that while joint probabilities (probabilities for arbitrary sets of events to be joinly occurrent) always definable in a classical probabilitiy theory, in quantum probability it is not possible to define a joint probability measure for arbitrary sets of events. This claim follows immediately from a theorem due to Nelson (1967, Theorem 14.1). Some have tried to generalize that the notion of a "joint distribution" so that all observables do have a "joint distribution", but these generalized notion, at least, do not have some of the intuitive properties one would expect of a joint distribution.