Operationscharakteristik

Die Operationscharakteristik ist ein Begriff aus der statistischen Testtheorie.

Gegeben ist eine Zufallsvariable X mit einer einer Verteilungsfunktion F(x|θ), die von einem unbekannten Parameter θ abhängt. Für die Schätzung des Parameters werden n viele Beobachtungen der Zufallsvariablen gemacht. Der Parameter kann dann durch eine Schätzfunktion

${\hat {\theta }}=t(X_{1},X_{2},...,X_{n})$

geschätzt werden. Es soll eine Vermutung bezüglich des wahren, unbekannten Parameters statistisch überprüft werden. Es wird also eine Hypothese bezüglich dieses Parameters aufgestellt, die sogenannte Nullhypothese. Man geht nun davon aus, dass bei Wahrheit der Nullhypothese ̂θ in der Nähe des wahren Parameter θ liegen müsste und lehnt H₀ ab, wenn die Distanz zu groß ist, wenn also ̂θ in den Ablehnungsbereich des Tests fällt. Der Ablehnungsbereich AB wird so festgelegt, dass α 100% aller Stichproben abgelehnt werden, wenn H₀ wahr ist.

Man kann im Hypothesentest zwei Arten Fehler machen:

• Man lehnt H₀ ab, obwohl θ₀ der wahre Parameter ist. Es handelt sich also bei α um einen Fehler, den α-Fehler oder Fehler erster Art.
• Man lehnt H₀ nicht ab, obwohl ein anderer Parameter θ₁ der wahre Parameter ist. Das ist der β-Fehler oder Fehler zweiter Art.

α wird in der Testprozedur festgelegt, β hängt aber vom wahren Parameter θ₁ ab und ist in aller Regel unbekannt. Man kann für eine Risikoabschätzung einer falschen Entscheidung die β-Fehler für verschiedene alternative Parameterwerte θ₁ berechnen. Der β-Fehler für einen alternativen Parameter θ₁ berechnet sich als Wahrscheinlichkeit, dass θ dach in den Nichtablehnungsbereich (NAB) fällt, wenn in Wahrheit θ₁ die Verteilung von θ dach regiert:

$\beta =P({\hat {\theta }}\in NAB|\theta _{1}).$

β hängt also von θ₁ ab und kann als Funktion von θ₁ dargestellt werden: b = f(θ₁). Diese Funktion wird als Operationscharakteristik bezeichnet und häufig als OC bezeichnet. Die Gegenwahrscheinlichkeit zu β ist die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ abgelehnt wird, wenn θ₁ der wahre Parameter ist. Hier ist die Ablehnung erwünscht und die entsprechende Funktion γ(θ₁) = 1 – OC(θ₁) wird daher als Gütefunktion bezeichnet.

Beispiel

Ein Forellenzüchter liefert seinem Großabnehmer Forellen, die im Durchschnitt mindestens 260 g wiegen sollen. Bei Lieferung wird getestet, ob das Durchschnittsgewicht mindestens 260 Gramm beträgt. Wird die Hypothese abgelehnt, wird die Lieferung beanstandet. Es sei bekannt, dass das Gewicht X der Forellen normalverteilt ist mit der Varianz σ² = 64 g² und einem unbekannten Erwartungswert μ. Es werden in einer Stichprobe n = 16 Forellen gewogen, wobei die ite Forelle xi g wiegt. Das Durchschnittsgewicht

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

dieser Forellen wird ermittelt. Da X bei jedem Versuch anders ausfällt, ist diese Größe ebenfalls eine Zufallsvariable und normalverteilt mit den Parametern

$\mu und{\bar {varX}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

Die Hypothese lautet nun H₀: $\mu \geq \mu _{0}=260$.

Soll der Fehler erster Art beispielsweise α = 0,05 betragen, ergibt sich der kritische Wert für die Prüfgröße X als

$\mu _{0}-z(1-\alpha )\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}=260-1,65\cdot {\frac {8}{4}}=256,7.$

H₀ wird also abgelehnt, wenn x < 256,7 ist, der Ablehnungsbereich ist (- unend; 256,7]. Ist also tatsächlich μ₀ = 260 g wahr, würden in 5% aller Stichproben xquer in den Ablehnungsbereich fallen, es würde also die Lieferung zu Unrecht zurückgeschickt werden.

β-Fehler: Die rote Normalverteilungskurve gibt an, wie X verteilt wäre, wenn μ = 260 g ist. Die rote Fläche ist der α-Fehler 0,05. Die blaue Kurve zeigt die Verteilung von X, wenn μ in Wahrheit 255 ist. Die blaue Fläche ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass X 256,7 ist, dass also H₀ nicht abgelehnt wird. Entsprechendes gilt für μ = 252.

Es kann aber beispielsweise auch vorkommen, dass das Durchschnittsgewicht in Wahrheit μ₁ = 255g beträgt, dass aber zufällig x > 256,7 ist. Das ist der β-Fehler für μ₁ = 255g. Die Prüfgröße X ist nun bei unveränderter Varianz in Wahrheit normalverteilt wie

\bar X \to N(\255;2)

und die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist dann

P(\bar X \ge 256,7| \mu_1 = 255) und berechnet sich mit Hilfe der Normalverteilung als

1 - \Phi(256,7|255;2) = 1 – 0,8023 = 0,1977,

wobei \Phi(256,7|255;2) der Wert der Normalverteilungsfunktion den Parametern 255 und 2 an der Stelle 256,7 ist. Es würde also in ca. 20 % aller Stichproben die Lieferung akzeptiert werden, obwohl die Forellen im Durchschnitt untergewichtig sind. Beträgt dagegen in Wahrheit μ₁ = 252, beträgt der β-Fehler

1 - \Phi(256,7|252;2) = 1 – 0,8023 = 0,1977,

hier ist die Gefahr einer falschen Entscheidung nur noch sehr gering.

17:00, 14. Feb 2005 (Versionen) (Unterschied) Bild:Operationscharakteristik.png (aktuell) [Zurücksetzen]