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Zufall

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Man spricht man von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt, oder wenn das Auftreten des Ereignisses nicht absehbar ist.

Ein zufälliges Ereignis muss mindestens zwei Alternativen aufweisen.

Zufall kann ein seltenes, unerwartetes Ereignis bezeichnen: Beispielsweise treffen sich zwei alte Freunde zufällig nach Jahren wieder auf der Straße.
Hierbei kreuzen sich zwei Ereignisfolgen, wobei ein Ereignis durch einen Ortspunkt und einen Zeitpunkt bestimmt sein muss. Das Zufallsereignis tritt dann ein, wenn sowohl Ortspunkt als auch Zeitpunkt zweier Ereignisse nahe beieinander liegen.

Zufall kann aber durchaus auch sehr häufig und wiederholt auftreten, z.B. beim Würfeln oder Münzwerfen.

Eine systematische Untersuchung des 'Phänomen Zufall' geschieht in der Philosophie (was ist Zufall), in der Mathematik (wie lässt sich Zufall quantitativ fassen), in der Physik (welche Prozesse sind zufällig, welche determiniert) und in der Psychologie (warum haben Menschen Erwartungen (und welche), über das, was geschehen wird).


Was ist Zufall

Eine Anmerkung zur Vorsicht: Schon die umgangssprachliche Formulierung wie "etwas zufällig Geschehenes hatte keine (bekannte) Ursache" impliziert eine deterministische Denkweise, denn man nimmt an, dass Alles eine Ursache haben müsse. Daher wird das Wesen des Zufalls am besten im Zusammenhang mit Überlegungen zur Kausalität beleuchtet.


Zufallsprozesse in der Welt

Die Naturwissenschaften versuchen herauszufinden, ob unsere Welt im innersten deterministisch oder zufällig ist. Man will wissen, ob ein Ereignis zufällig ist, weil der Beobachter nicht genügend Daten hatte, um eine exakte Vorhersage zu machen, oder ob das beobachtete System in sich zufällig ist. Beide Arten von Systemen lassen sich mathematisch modellieren.

Die erste Art von Systemen sind solche, in denen angenommen wird, dass das Ergebnis eines Experiments bei festen Bedingungen immer gleich sein muss, und dass die auftretenden Variationen des Ergebnises auftreten, weil der Beoachter das System nicht genau genug kontrolliert hat. Solche Systeme werden als deterministisch angesehen.

Es ist heute bekannt, dass (theoretisch exakt) deterministische Systeme zufälliges Verhalten zeigen können. Solche Systeme werden in der Chaostheorie untersucht.

Die Quantenphysik hat eine neue Diskussion darüber ausgelöst, ob die Welt fundamental deterministischen oder fundamental zufälligen Prinzipien gehorcht. Die akzeptierte Interpretation der Quantentheorie sagt, dass identische Experimente unterschiedliche Ergebnisse haben können. Das beste Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall. Es ist keine Möglichkeit bekannt, den Zerfallszeitpunkt eines instabilen Atomkernes vorherzusagen.

Es gibt Wissenschaftler, die Alternativen (etwa Verborgene-Variablen) vorschlagen, um doch noch eine deterministische Welt zu beschreiben.
Daneben gibt es die Möglichkeit, aus mikroskopischen Theorien, die zufällig erscheinen, makroskopische Theorien aufzubauen, die (quasi)deterministisch sind.


Zufall quantitativ

In der formalen Welt der Mathematik lassen sich abstrakte Strukturen definieren, die aus der menschlichen Vorstellung bzw. Erwartung von Zufall motiviert sind. Glücksspiele motivierten die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien, und werden auch heute noch oft zu ihrer Illustration eingesetzt.

Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des Zufalls:

(Zufalls)experiment
Die durchgeführten und/oder beobachteten Vorgänge. (z.B. zweimaliges Werfen eines Würfels)
Ergebnis oder Elementar-Ereignis
Beobachtung (z.B. erster Wurf '3', zweiter Wurf '5').
Wahrscheinlichkeit
Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet (z.B. Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich 1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Offensichtlich sind nur solche Zufallsexperimente interessant, die mehr als ein mögliches Ergebnis haben.

Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.


Beispiel eines Zufallsexperimentes

Die Stufen eines Zufallsexperiments sind

  1. Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es ist aber noch nichts entschieden.
  2. Das Zufallsexperiment wird durchgeführt.
  3. Aus den mindestens 2 möglichen Ergebnissen wurde eines zufällig ausgewählt.

Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Man kann mit einer Münze diese Art von Zufallsexperiment durchführen und selber Zufallszahlen erzeugen. Dabei ordnet man der einen Seite der Münze die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu. Durch notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0 und 1. Eine solche Folge ist das Ergebnis eines sehr einfachen Zufallsprozesses.

Die Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar. Die Zufallsfolgen sind mit nicht zufälligen 0 und 1 Folgen mischbar. So bekommt man ein recht gutes Verständnis für den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.
(...unklar ausgedrückt...)

Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und Ungleichheit

  • Die zwei möglichen Varianten müssen gleich (gleichberechtigt) sein
  • Trotzdem müssen sie irgendwie ungleich, nämlich unterscheidbar sein.

(Münze: beide Seiten müssen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide Seiten verschieden geprägt sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.)
(...was soll gleichberechtigt heißen?...)

Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall:
('...bitte überarbeiten, bzw. klarer formulieren...)

  • Ein elementarer Zufallsprozess ist der Münzwurf, denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen 2 Alternativen.
  • Der Zufall hat kein Gedächtnis. (Vergleiche den Begriff Unabhängigkeit in der Stochastik)
  • Je geordneter ein System ist, desto geringer ist der Anteil an Zufall .
  • Eine echte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt sich ohne Verlust kaum komprimieren.
  • Echten Zufall kann man sehr genau testen, wenn man das zugrundeliegende Verfahren beliebig wiederholen kann.
  • Zufall heißt nicht, das alles möglich ist. Ein zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben.
  • Wenn die Zukunft völlig festgelegt und vorherbestimmt ist, dann gibt es keinen Zufall. (Determinismusproblem)
  • Die Mischung aus zufälligen und gesetzmäßigen Ereignissen wird der Realität am besten gerecht.
  • Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig ist. Manchmal ist der Zufall eine allzu bequeme Erklärungsvariante.
  • Ein Maß für die Menge an Zufall, die in einer Zahlenfolge oder einem physikalischen System steckt, ist die Gesamtzufallsmenge oder Entropie

Beispiele für Zufallsgeneratoren

  • Münze
  • Würfel
  • Roulette
  • Urne
  • Reißnagel


Literatur

  • Wie der Zufall will? : Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit
    • von Tarassow, Lew W.
    • Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg | 1998 | ISBN 3827404746
    • gutes Buch , leicht verständlich

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/zufall1.gif

  • Das Reich des Zufalls:
    • Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und Unschärfen.
    • Von Gerd Gigerenzer, Zeno Swijtink, Theodore Porter u. a.. 1999. 374 S. 24 cm. Gebunden. 826gr.
    • ISBN 3-8274-0101-1, KNO-NR: 07 01 43 67
    • -SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG- 79.90 DM
    • Sehr interessantes Buch über die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
    • Zusatztext:
    • Die "Macht des Zufalls" ist ein Buch über alle Facetten des Begriffes "wahrscheinlich": Von den Wurzeln der Zufallsstatistik beim Glücksspiel über die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit als Häufigkeit in bezug auf eine Stichprobe oder Grundgesamtheit bis hin zur quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit und Faktorenanalyse in der Psychologie.
    • Die Autoren, namhafte Wissenschaftler aus unterschiedlichen geistes- und naturwissenschaftlichen Disziplinen, haben das Buch primär für Psychologen geschrieben, die sich mit raffinierten statistischen Methoden auskennen müssen. Das Buch knüpft aber auch an andere Disziplinen wie Sozial- und Wirtschaftswissenschaften oder Naturwissenschaften an.

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/zufall2.jpg

  • Das Spiel.
    • Bd.410 Eigen, Manfred; Winkler, Ruthild:
    • Serie Piper: -PIPER-Naturgesetze steuern den Zufall. Mit 68 meist farb. Abb.. Kartoniert. 466gr.
    • ISBN 3-492-20410-4, KNO-NR: 02 60 09 02 29.90 DM
    • Zusatztext:
    • Die Grundelemente des Spiels - Zufall und Gesetz - bestimmen jegliches Geschehen im Universum. So lassen sich Naturgesetze in Form von Spielregeln abstrahieren. Auf dem Spielfeld bilden sich Muster, Information entsteht, die Gesetze von Selektion und Entwicklung treten klar hervor. Dies ist die Quintessenz dieses weltweit erfolgreichen Buches.
    • Sehr gutes Buch. sehr lesenswert .

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/spiel.jpg

  • Statistik für Nichtstatistiker. Zufall oder Wahrscheinlichkeit.
    • Karl Bosch
    • Gebundene Ausgabe - 3., bearb. Aufl. (1998) Oldenbourg, Mchn.; ISBN: 3486247506
    • Gute Einführung
    • Didaktisch sehr gute Einführung vom Nullniveau aus mit mathematischem Schwerpunkt. Ursprünglich wohl ein Schulbuch, ähnliches Buch im Klett-Verlag erschienen.
  • Allan Combs/Mark Holland: Die Magie des Zufalls, Hamburg 1992 ISBN 3499191776

Alte Bücher zum Thema Zufall

  • Aristoteles Physika
    • Im Zweiten Buch , Kapitel 4 und 5 eine der ersten längeren Abhandlungen über den Zufall. Auch heute noch sehr lesenswert. Viele Jahrhunderte nach Aristoteles hat es gebraucht den Zufall als Ursache anzuerkennen.
  • Die Analyse des Zufalls
    • von Timerding, Heinrich Emil
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung Ars conjectandi
    • Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 107:
    • Autor Jakob Bernoulli
    • Ausgangspunkt für die Auseinandersetzung Jakob Bernoullis mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen waren die Studien von Christian Huygens über Glücksspiele aus dem Jahre 1657. Er baute sie zu einer umfassenden Theorie aus, der "Ars conjectandi", in der er versucht, dieses Gebiet über die bislang üblichen Anwendungen auf Glückspiele hinaus auf "bürgerliche, sittliche und wirtschaftliche Verhältnisse" auszuweiten.
    • Das Werk enthält Gedanken über Gewissheit, Notwendigkeit, Zufall, moralische und rechnerische Erwartung, Gewinnaussichten sowie die Auswertung von Potenzsummen mittels Bernoullischer Zahlen.
    • 2. Auflage 1999, 328 Seiten, 1 Abbildungen, kartoniert, Euro 24,80 ISBN 3-8171-3107-0
  • Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit
    • Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 233:
    • Autor : Pierre Simon de Laplace
    • Wer hat sich nicht im Mathematikunterricht mit den Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln oder Werfen einer Münze amüsiert? In seinem Werk "Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit" legt Laplace die Grundlagen für die Berechnung dieser Ereignisse dar.
    • Ferner zeigt er auf, wie leicht sich Menschen aus ihren Alltagserfahrungen heraus von falschen Wahrscheinlichkeiten leiten lassen und dehnt seine Berechnungen auf die ethischen Wissenschaften aus. Der "Essai" enthält die berühmte klassische, mehr als 100 Jahre lang benutzte Definition der Wahrscheinlichkeit. Ferner umfasst er die exakte Formulierung des klassischen mechanischen Determinismus. Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf naturwissenschaftliche Fragestellungen erwies sich als fruchtbar, während ihre Anwendung auf Zeugenaussagen und Gerichtsurteile erfolglos bleiben musste.
    • 2. Auflage 1996, 211 Seiten, 1 Abbildungen, kartoniert, 16,80 ISBN 3-8171-3233-6


Links

Universität Koblenz-Landau, Abt. Koblenz Fachbereich Informatik
Proseminar im WS 97/98 von Sasa Hasan
Zufallszahlen
Die Analyse des Zufalls by Timerding, Heinrich Emil
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