Eins

Eins (1) ist die natürliche Zahl, die aufsteigend der Null folgt und der Zwei vorausgeht.

Mathematische Eigenschaften

Die Zahl 1 ist keine Primzahl und Teiler jeder natürlichen Zahl. Ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der Mathematik verwendet, wie etwa das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in einem Ring, genannt Einselement. In diesen anderen Systemen können auch andere Rechenregeln gelten, so dass 1+1 verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann.

Die 1 wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der Analysis bezeichnet (neben 0, π, e und i).

Bedeutung in der Informatik

In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null ein Teil des Binärsystems ist. Sie steht in der Maschinensprache für „An“ (On) und ist auch in Programmiersprachen als Datentyp Boolean wiederzufinden (1 = True = Wahr, 0 = False = Falsch).

Schreibweisen

Das Symbol 1

Das Symbol 1 wird als Ziffer des Stellenwertsystems verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher Interpretation die Zahl Eins. Insbesondere ist die 1 die größte Ziffer im Dualsystem.

Periodischer Dezimalbruch

Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Darstellung als 1 auch die periodische Dezimalbruchdarstellung als $0{,}{\bar {9}}=0{,}999\ldots$.

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, z. B. durch die folgenden:

Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch

${\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots$

$3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots$

$1=0{,}999\ldots$

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber folgendes zu bedenken:

1. Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
2. Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich.

Grenzwert einer Zahlenfolge

$0{,}999\ldots$ ist der Grenzwert der Zahlenfolge $0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots$
Das allgemeine Glied $a_{n}$ dieser Folge ist $a_{n}=0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}$. Die Differenz zwischen $1$ und $a_{n}$ ist $1-a_{n}={\frac {1}{10^{n}}}$. Dieser Wert kann für große $n$ beliebig klein gemacht werden, also gilt nach Definition des Grenzwerts $0{,}999\ldots =1$.

Geometrische Reihe

$0{,}999\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}$ und dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form $\sum _{i=0}^{\infty }a\cdot q^{i}$. Solche Reihen sind für $|q|<1\;$ konvergent und haben den Wert $a\cdot {\frac {1}{1-q}}$. Mit $a={\frac {9}{10}}$ und $q={\frac {1}{10}}<1$ ergibt sich der Summenwert als ${\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{\frac {9}{10}}}=1$.

Andere Stellenwertsysteme

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich 0,111..., im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF... etc.

Andere Zahlschriften

Die Römische Zahl für Eins ist I. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert Eins, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent, das Alif (ا). Das arabische Schriftzeichen für die Eins ist ١; in Bengalî wird die Zahl ebenfalls ۱ geschrieben, in Devanagari १, und in Malayalam ൧.

Sonstige Bedeutungen

• Die Eins ist in Deutschland und Österreich die Schulnote für „sehr gut“, in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.

• In der Zahlensymbolik wird die 1 gerne als Symbol für alles, den Anfang oder Gott verwendet (siehe hierzu auch Chinesische Zahlensymbolik).

Sprachliches

Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, beginnen häufig mit der griechischen Vorsilbe mono, etwa Monokel oder Monografie, oder sind aus dem lateinischen singularis oder solus abgeleitet, wie Singular oder Solo.

Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, sind häufig aus dem lateinischen unus abgeleitet: Union oder Uniform.

Weblinks

Wiktionary: eins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen