Wachstum (Mathematik)
allgemeiner Sprachgebrauch
Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Größe.
- Beispiele: Bakterien, Geld
Das Gegenteil ist die Abnahme bzw. der Zerfall. In diesem Zusammenhang fällt oft der geschönte Begriff Negativwachstum.
Unter Wachstum versteht man auch das Größerwerden eines Gegenstandes oder Lebewesens.
Das Gegenteil hiervon ist das Schrumpfen.
Mathematischeh Beschreibung
Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Größe.
Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt t2 wird der Wert dieser Größe wieder bestimmt.
Ist dieser zweite Wert W(t2) größer als der erste W(t1), dann spricht man von positivem Wachstum. Diesr Fall entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.
Ist W(t2) kleiner als W(t1), ist also die Differenz W(t2)-W(t1) < 0, spricht man von negativem Wachstum.
Im Falle W(t2) = W(t1) spricht man von Nullwachstum.
Bei zahlreichen Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung zu einem geschlossenen Kurvenzug verbunden. Es sollte aber dabei nicht vergessen werden, dass das tatsächliche Verhalten des Systems zwischen den Messpunkten nicht bekannt ist und höchstens durch ein mehr oder weniger genaues Modell beschreibbar ist. Bei bestimmten Wachstumsarten können auch mathematische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung des Verhalten Verwendung finden.
Wachstumsarten
a) begrenzt oder unbegrenzt: Alle realen Wachstumsvorgänge sind letztlich begrenztes Wachstum, da die Ressourcen, aus welchen sich das Wachstum, speist, nicht unbegrenzt vorliegen. Unbegrenztes Wachstum ist damit ein mathematisches Artefakt.
b) linear (konstant) oder exponentiell (beschleunigt oder verzögert = negativ beschleunigt) Der Radioaktive Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes, negatives Wachstum.
c) (scheinbar) kontinuierlich oder diskontinuierlich. (Beispiel: Die Längenzunahme des Menschen während der Wachstumsperiode erfolgt in Schüben.)
Wachstumsschwankungen:
Die gemessenen Größen bestimmter Systeme schwanken zwischen mehreren Grenzwerten hin und her:
a) Periodische Schwankungen (z. B. bei Systemen mit Rückkopplung können ungedämpft, gedämpft oder aufschaukelnd sein.
b) Aperiodische Schwankungen (Fluktuationen) können zufallsbedingt oder chaotisch sein.
Beispiele für wachsende Systeme:
a) Wachstum in den Raumdimensionen:
Strecken: Wachstum des Schienenstreckennetzes
Flächen: Wachstum der versiegelten Flächen
Volumen: Wachstum eines Luftballons
b) Wachstum durch Vermehrung Anzahl: Bevölkerungswachstum
c) Wachstum eines Indexes: Bruttosozialprodukt
d) Wachstum der Komplexität: Internet, Gehirn
e) Infekt-Modell: Rüchkopplungsfunktion, die Ausbreitungsvorgänge (Krankheiten, Gerüchte, Witze ...) in geschlossenen Populationen beschreibt (s. Bild begrenztes Wachtum). Bei Überschreitung sinnvoller Grenzen und geeigneter Darstellung entsteht das Feigenbaum-Diagramm.
Beispiel von Graphen für lineares positives negatives und Nullwachstum Beispiel von Graphen für exponentielle positives oder negatives / beschleinigtes oder verzögertes Wachstum
Begrenztes Wachstum
Ein Beispiel für begrenztes Wachstum ist das Logistische Wachstum, dargestellt in einer sigmoid-Kurve:
