Spin-Statistik-Theorem

Unter dem Spin-Statistik-Theorem versteht man die theoretische Begründung für die mehr oder weniger empirische Tatsache, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin (sog. Fermionen) der Fermi-Dirac-Statistik folgen, und alle Teilchen mit ganzzahligem Spin (sog. Bosonen) hingegen der Bose-Einstein-Statistik.

Der Zusammenhang zwischen dem Spin (nicht-klassischer Eigendrehimpuls) eines Teilchens und seinem kollektiven Verhalten in einer Gruppe ununterscheidbarer Teilchen ist durchaus nicht trivial. Man beobachtet, dass sich bei Vertauschung zweier Bosonen ihre quantenmechanische Wellenfunktion nicht ändert, im Gegensatz zu den Fermionen bei denen in diesem Fall das Vorzeichen der Wellenfunktion wechselt.

Von Wolfgang Pauli stammt eine recht komplizierte Begründung dieses Sachverhalts, die allerdings auf nicht-elementare Methoden der relativistischen Quantenfeldtheorie zurückgreift. Erst mit der Kombination von Quantentheorie und spezieller Relativitätstheorie war es Pauli möglich, das Spin-Statistik-Theorem zu beweisen.

Mathematisch kann dieses Verhalten durch das Einführen eines Permutationsoperators erfasst werden, der bei Bosonen den Eigenwert +1, bei Fermionen entsprechend -1 liefert. Die Wirkung dieses Operators ist die Vertauschung zweier Teilchen in einer Vielteilchen-Wellenfunktion. Sind diese Teilchen ununterscheidbar, folgt dass der Operator mit dem Hamiltonian vertauscht:

$[H,P]=0$

In der Quantenfeldtheorie ergeben sich im Rahmen der kanonischen Quantisierung diese Statistiken daraus, dass man die Quantisierungsbedingung entweder mit Kommutatoren oder mit Antikommutatoren formuliert. Eine Begründung des Spin-Statistik-Theorems erhält man nur insofern, als man zeigen kann, dass die jeweilige Alternative nicht zu einer sinnvollen Theorie führt.

Literatur

• W. Pauli, The Connection Between Spin and Statistics, Phys. Rev. 58, 716-722(1940). (abstract)
• Die Symmetrie der Wellenfunktion