Satz von der offenen Abbildung (Funktionalanalysis)

Der Satz von der offenen Abbildung ist ein grundlegender Satz aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik.

Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt offen, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.

Der Satz von der offenen Abbildung besagt:

• Sind X und Y Banachräume, so gilt für jede stetige lineare Abbildung T zwischen X und Y:
  T ist surjektiv genau dann wenn T offen ist. Man sieht leicht, dass eine nichtsurjektive lineare Abbildung nicht offen sein kann, da kein echter Unterraum von Y offen ist; der Gehalt des Satzes liegt also in der Aussage, dass jede surjektive stetige lineare Abbildung offen ist.

Unmittelbar aus der Definition von Stetigkeit folgt als Korollar:

• Ist T eine stetige lineare Bijektion zwischen zwei Banachräumen, dann ist auch die inverse Abbildung stetig.
  

Diese Aussage ist auch als Satz von der inversen Abbildung oder Satz vom stetigen Inversen bekannt. Sie lässt sich auch so formulieren:

• Sei $T$ ein stetiger linearer Operator zwischen zwei Banachräumen $X$ und $Y$. Ist die Gleichung $Tx=b$ für jedes $b$ in $Y$ eindeutig lösbar, so hängt die Lösung $x$ stetig von $b$ ab.