Idempotenz

Definition

Idempotenz ist ein Begriff aus der Mathematik und Informatik.

Er bezeichnet die Eigenschaft einer Funktion (oder in der Informatik, auch einer Methode), in Verknüpfung mit sich selbst das gleiche Ergebnis zu liefern wie bei einmaliger Verwendung. Die beiden grundlegenden Definitionen lauten:

• bei Funktionen oder unären Operationen bezeichnet man eine Funktion genau dann als idempotent, wenn gilt $f(x)=(f\circ f)(x)$ -- das mehrmalige Anwenden einer Funktion also äquivalent mit der einmaligen Anwendung ist.

• bei einer binären Operation bezeichnet man die Elemente, die mit sich selber verknüpft wieder sie selber ergeben als idempotente Elemente. $xOpx=x$.

Beispiele für idempotente Funktionen

• $f(x):x\mapsto 1$
• $f(x):x\mapsto x$
• $f(x):x\mapsto |x|$

Beispiele für idempotente Elemente bei binären Verknüpfungen

• Bei der Multiplikation auf den reellen Zahlen sind 0 und 1 die beiden einzigen idempotenten Elemente. (weil $0*0=0$ und $1*1=1$)
• Beim Logischen Und sind sowohl Wahr als auch Falsch idempotent
• Unter der Vereinigung und dem Duchschnitt in der Mengenlehre sind alle Mengen idempotent

Idempotente Matrizen

Eine quadratische Matrix A der Dimension n über einem beliebigen Körper K heißt idempotent genau dann, wenn die durch sie induzierte lineare Abbildung

$f:K^{n}\to K^{n};$

$v\mapsto Av$

idempotent gemäß obiger Definition ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn A²=A gilt. Ist $K\in${$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$}, so folgt daraus, dass die Eigenwerte von A allesamt 0 oder 1 sind. Geometrisch können idempotente lineare Abbildungen als orthogonale Projektion des Vektorraums auf einen Untervektorraum interpretiert werden.

siehe auch: Nilpotenz, Involution