Ebene Welle

Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen sind. Gleichbedeutend damit ist, dass sich die Welle geradlinig ausbreitet. Zudem wird von einer ebenen Welle eine räumlich konstante Amplitude gefordert.

Ebene Wellen gehören zu den einfachsten Lösungen von Wellengleichungen, wie sie in der klassischen Mechanik, in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik auftreten.

Mathematische Beschreibung der ebenen Welle

Um die mathematische Struktur einer ebenen Welle zu verstehen, wird diese im nachfolgenden Absatz zunächst im speziellen Koordinatensystem beschrieben, dessen x-Achse in Ausbreitungsrichtung zeigt. Für jeden reellen Zahlenwert der Koordinate x nimmt eine solche Welle einen bestimmten, von den anderen Koordinaten unabhängigen Zahlenwert an, das heißt sie ist eine mathematische Funktion, die nur von x und t abhängt. Der Graph dieser Funktion für festes t beschreibt die Gestalt der Welle.

Eine genaue Betrachtung zeigt, dass die Ebene Welle auf dieser Zahlengeraden ein periodisches Verhalten zeigt, d.h. die Funktionswerte wiederholen sich, wenn man entlang der Zahlengeraden fortschreitet.

Beschreibung einer ebenen Welle

Eine ebene Welle wird am einfachsten beschrieben, wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass die x-Achse der Ausbreitungsrichtung entspricht. Die Werte für jedes y und z sind dann identisch. In den Formel benötigt man dann nur noch die Parameter x und t. Verschiebt man zusätzlich den Nullpunkt auf der x-Achse auf einen Nulldurchgang bei t=0, so ergibt sich:

$G(x,t)=G_{0}\cdot \sin(2\pi \nu \cdot (t-{\frac {x}{c}}))$

Die Welle wird also durch eine Sinusfunktion beschrieben.

G ist die sich ändernde Größe (Auslenkung, Dichte etc.). G hängt vom Ort x und der Zeit t ab.

G₀ ist der maximale Wert (die Amplitude) der Welle.

$\nu$ ist die Frequenz.

c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Beschreibung einer ebenen Welle in der Quantenmechanik

Für die Beschreibung von freien Teilchen entfällt der Potentialteil der Schrödingergleichung, das heißt V(r,t)=0. Die Gleichung nimmt dann die Form einer Wellengleichung an.

Eine räumlich und zeitlich nicht lokalisierte, unendlich ausgedehnte ebene Welle ist Lösung dieser Wellengleichung. Sie kann in eindimensionaler Darstellung folgendermaßen angegeben werden:

$\Psi (x,t)=A\cdot e^{i\cdot (k\cdot x-\omega \cdot t)}$

(Anmerkung: Dies ist lediglich eine Darstellung einer Ebenen Welle mit Hilfe der komplexen Zahlen. Es steckt aber wiederum eine Sinusfunktion dahinter - siehe Eulergleichung.)

$\Psi$ ist die (komplexe) Wellenfunktion oder Wahrscheinlichkeitsamplitude. Ihr kommt keine anschauliche Bedeutung zu. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion ist die (reelle) Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens.

$A$ ist die (komplexe) Amplitude der Welle.

k ist der Betrag des Wellenzahlvektors, im eindimensionalen Fall eine positive reelle Konstante.

x ist der Ortsparameter, an dem die Welle betrachtet wird.

$\omega$ ist die Kreisfrequenz der Welle ($2\pi f$).

t ist der Parameter für die Zeit.

Der Betrag des Impulses p der Welle hängt mit dem Betrag k des Wellenzahlvektors folgendermaßen zusammen:

$p={\frac {h}{2\pi }}\cdot k$.

h ist das Plancksche Wirkungsquantum.

In der angegebenen Darstellung einer eindimensionalen Ebenen Welle wird die imaginäre Einheit i verwendet, deren Quadrat -1 ist (vgl. die Darstellung komplexer Zahlen und Funktionentheorie).

In zweidimensionaler Darstellung (x-y-Diagramm) beschreibt der Ausdruck $e^{i\cdot \Phi }$ einen rotierenden Zeiger im Einheitskreis, wenn $\Phi$ die reellen Zahlen durchläuft. $\Phi$ ist dann der Winkel des Zeigers gegenüber der x-Achse im Bogenmaß. Wegen $e^{i\cdot \Phi }=\cos \Phi +i\sin \Phi$ (Eulergleichung) ist der Abschnitt auf der x-Achse (der so genannte Realteil) die Kosinusfunktion $\cos \Phi$ und der Abschnitt auf der y-Achse (der so genannte Imaginärteil), die Sinusfunktion $\sin \Phi$.

Der Faktor A verändert nur den Radius des Kreises, für den die Zeigerbewegung betrachtet wird. Während der Einheitskreis den Radius 1 hat, beschreibt $A\cdot e^{i\Phi }$ eine Zeigerbewegung im Kreis mit dem Radius A.

Für $\Phi =k\cdot x-\omega \cdot t$ erhält man eine Schwingung am Ort x, wenn x festgehalten wird und t alle möglichen Zeiten durchläuft.

Die Welle schwingt also am Ort x.

Hält man die Zeit t fest und betrachtet die Gestalt der Welle entlang der Zahlengeraden, so wiederholen sich die Funktionswerte. Hieraus erkennt man die Periodizität der Welle, bzw. ihre Wellengestalt.

Die Welle nimmt den Wert A an, wenn $k\cdot x=\omega \cdot t$ gilt. Hieraus folgt $x={\frac {\omega }{k}}\cdot t$.

Bei einer Lichtwelle ist ${\frac {\omega }{k}}=c$, d.h. es gilt $x=c\cdot t$, und hierfür nimmt die Welle den Wert A an.

c ist die konstante Lichtgeschwindigkeit. Für $x=c\cdot t$ nimmt die Welle den Wert A an, man kann dies Ergebnis so interpretieren, dass die Amplitude der Welle mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung fortschreitet.

Im dreidimensionalen Fall ist der Parameter k durch den Wellenzahlvektor k zu ersetzen. Dieser Vektor bestimmt dann die Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Welle bildet eine Wellenfront aus, die in Richtung des Wellenzahlvektors fortschreitet.

Ebene Wellen in der Quantenmechanik

Freie Teilchen

In der Quantenmechanik werden Ebene Wellen zur Beschreibung von freien Teilchen verwendet. Jede Welle ist durch einen exakten Impuls und eine exakte Energie charakterisiert. Ein durch eine einzelne ebene Welle beschriebenes Teilchen ist räumlich nicht lokalisiert. Es ist sozusagen über den ganzen Raum verteilt. Man kann die Ebene Welle als Modell z. B. zur Beschreibung eines Photons oder Elektrons in Zuständen mit definiertem Impuls verwenden.

Wellenpakete

Durch Überlagerung mehrerer ebener Wellen unterschiedlicher Amplitude und Wellenzahl, also verschiedener Impulse, kann die Wellenfunktion und damit Aufenthaltswahrscheinlichkeit räumlich beschränkt werden. Diese Überlagerung heißt Wellenpaket. Solche Wellenpakete ergeben eine theoretische Beschreibung für reale, örtlich lokalisierbare, Teilchen.

Je stärker man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschränken will, desto mehr Wellen unterschiedlicher Impulse müssen hinzugenommen werden. Der ursprünglich genau bekannte Impuls der einzigen Welle ist jetzt bei den verschiedenen Wellen immer stärker verteilt.

Mathematisch ergibt sich, dass die Lokalisation des Ortes umgekehrt proportional zur Streuung der Impulse der verwendeten Wellen ist. Man spricht von Unschärfe des Ortes und Unschärfe des Impulses. Bei der einzelnen Welle ist die Unschärfe des Impulses gleich Null, die Ortsunschärfe dagegen unendlich. Die umgekehrte Proportionalität drückt die Heisenbergschen Unschärferelation aus Die mathematische Theorie der Überlagerung von sinusförmigen Wellen ist die Fouriersynthese.

Zusammenhang von Frequenz und Energie

Die Energie und Frequenz sind einander proportional, Proportionalitätsfaktor ist das Planck'sche Wirkungsquantum h:

$E=h\cdot \nu$

Diese Beziehung wurde von Max Planck erstmals im Jahre 1900 im Zusammenhang mit Betrachtungen zur Wärmestrahlung aufgestellt. 1905 wendete Albert Einstein sie allgemein auf Licht an, die so genannte Lichtquantenhypothese. In der Quantenmechanik gilt sie für alle Teilchen.

Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls

Der Impuls p und die Wellenlänge $\lambda$ jedes Teilchens sind nach Louis de Broglie umgekehrt proportional, wieder mit Faktor h:

$p={\frac {h}{\lambda }}$ (de Broglie Beziehung)

Für Lichtquanten (Photonen) war dies bereits vor de Broglie bekannt aus dem Zusammenhang für Energie und Impuls für Photonen in der speziellen Relativitätstheorie und Anwendung von $E=h\cdot \nu$. De Broglie wendete die Formel in seiner Dissertation von 1924 auf alle Teilchen an, auch Elektronen.

Zusammenhang von Frequenz und Impuls

Legt man den Impuls einer Welle fest, so ist je nach Teilchenart auch die Frequenz festgelegt. Bei Photonen ist die Frequenz proportional zum Impuls, bei (klassischen) Elektronen und anderen Teilchen jedoch quadratisch dazu (siehe Dispersionsrelation).

Dies ergibt sich mit den obenstehenden Formeln in einfacher Weise:

Photonen

Photonen breiten sich mit der Lichtgeschwindigkeit c aus, daher gilt

$\lambda ={\frac {c}{\nu }}$

Durch Einsetzen in die de Broglie Beziehung und Auflösen erhält man

$\nu ={\frac {c}{h}}\cdot p$

und damit die behauptete Proportionalität von Frequenz und Impuls.

Elektronen und andere Teilchen (klassischer Fall)

Für klassische Teilchen wie Elektronen ist die kinetische Energie E=1/2 mv² und der Impuls p=mv. Löst man die zweite Formel nach v auf und setzt in die erste ein so ergibt sich:

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$ (Gleichung der klassischen Mechanik)

Mit $E=h\nu$ erhält man

$\nu ={\frac {1}{2hm}}{p^{2}}$

und damit die behauptete quadratische Abhängigkeit.

Bei großen Geschwindigkeiten muss man die kinetische Energie durch die in der Relativitätstheorie geltende Formel ersetzen.