Casimir-Operator

In der Mathematik, ein Casimir-Operator oder eine Casimir-Invariante ist ein Element vom Zentrum der universelle einhüllende Algebra einer Lie-Algebra. Ein Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, welcher eine Casimir-Invariante der drei-dimensionalen Drehgruppe ist.

Eine nichtlineare Funktion der Generatoren, die mit allen Generatoren einer Gruppe vertauscht, nennt man einen Casimir-Operator C.

Definition

Angenommen ${\mathfrak {g}}$ ist ein $n$-dimensionale Lie-Algebra#Halbeinfache_Lie-Algebren¦halbeinfache Lie-Algebra. Sei

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$

irgendeine Basis von ${\mathfrak {g}}$, und

$\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

ist die Dualbasis von ${\mathfrak {g}}$ hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform auf ${\mathfrak {g}}$. Das quadrierte Casimir Element $\Omega$ ist ein Element der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ gegeben durch

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

Obschon sich die Definition des Casimir Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element $\Omega$ unabhängig ist von der Wahl. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir Element kommutativ ist für alle Elemente der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$, und darum im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ liegt.

Given any representation $\rho$ of ${\mathfrak {g}}$ on a vector space V, possibly infinite-dimensional, the corresponding quadratic Casimir invariant is $\rho (\Omega )$, the linear operator on V given by the formula

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

A special case of this construction plays an important role in differential geometry and global analysis. Suppose that a connected Lie group G with the Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ acts on a differentiable manifold M, then elements of ${\mathfrak {g}}$ are represented by first order differential operators on M. The representation $\rho$ is on the space of smooth functions on M. In this situation the Casimir invariant is the G-invariant second order differential operator on M defined by the above formula.

More general Casimir invariants may also be defined, commonly occurring in the study of pseudo-differential operators in Fredholm theory.

Definition und Eigenschaften

• Es gibt zu jeder halbeinfachen° Lie-Gruppe vom Rang °°l einen Satz von l Casimir-Operatoren.
• Die irreduziblen Darstellungen der Gruppe werden eindeutig durch die Eigenwerte aller Casimir-Operatoren charakterisiert.
• Ist ein physikalisches System invariant gegenüber den Operationen einer Lie-Gruppe, so ist der Hamiltonoperator H ein Casimir-Operator.
• Es gibt im allg. einfachere Casimir-Operatoren als H.

Example: so(3)

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Siehe auch

• Casimir invariant (engl. Wikipedia)