Elektrostatik

Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden elektrischen Ladungen, Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern von geladenen Körpern.

Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im antiken Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde mit dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Experimente

Die Experimente (mit z.B. Elektroskop, Elektrometer) ergaben:

• Es gibt zwei Arten elektrischer Ladungen: (positiv und negativ)
• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.

Elektrische Kraftwirkungen sind räumlich nicht lokalisiert!

Modellierung

• Faraday's physikalische Felder zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge.
• Maxwell Mathemathische charakterisierung.

Das elektrische Feld

Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Es entsteht durch die Anwesenheit von elektrischen Ladungen, der Quelle des elektrischen Feldes . Die SI-Einheit der elektrischen Feldstärke ist (Kilogramm*Meter)/(Sekunde^3*Ampere).

$[E]_{SI}={\frac {V}{m}}={\frac {N}{C}}={\frac {kg\cdot m}{s^{3}\cdot A}}$

Die Grundlage der Elektrostatik ist die Maxwell'sche Gleichung

$\mathrm {div} {\vec {D}}=\rho \qquad \leftrightarrow \qquad \iint _{A}{\vec {D}}\;d{\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \;dV$

Das ${\vec {E}}$-Feld ist mit dem ${\vec {D}}$-Feld durch die Materialgleichungen verknüpft. Es handelt sich bei beiden Feldern um Vektorfelder. Ein von Null verschiedenes Vektorfeld hat an jedem Ort des Raumes eine bestimmte Stärke und eine bestimmte Richtung.

$\mathrm {div} {\vec {D}}=\mathrm {div} (\varepsilon \cdot {\vec {E}})=\varepsilon \cdot \mathrm {div} {\vec {E}}=-\varepsilon \cdot \mathrm {div} \mathrm {grad} \varphi =-\varepsilon \cdot \triangle \varphi =\rho$ $\triangle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}\qquad \mathrm {(PoissonGleichung)}$

Spezialfälle

Fernfeld einer Punktladung

In der Elektrostatik lässt sich das Feld durch Umformung des Coulomb'schen Gesetzes beschreiben.

Eine mögliche Herleitungsmethode

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\iiint _{V}{\frac {\rho ({\vec {\tilde {r}}})}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}\;d{\tilde {V}}$

Taylorreihen Entwicklung von ${\frac {1}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}$

$\varphi ({\vec {r}})\approx \underbrace {\frac {Q_{ges}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert }} _{\mbox{Monopolnäherung}}$ $\varphi _{B}({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\cdot {\frac {Q_{ges}}{\Vert {\vec {r}}\Vert }}$

mit

${\vec {E}}({\vec {r}})=-\mathrm {grad} \varphi$

erhält man nun:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\cdot {\frac {Q_{ges}}{\Vert {\vec {r}}\Vert ^{2}}}\;{\vec {e}}_{r}$

Im Fall einer positiven Ladung zeigt das Feld radial von der Ladung weg, bei einer negativen Ladung zeigt es zur Ladung hin. Die Felder verschiedener Ladungen addieren sich mit gewöhnlicher Vektoraddition.

Fernfeld

Das elektrische Feld bewirkt eine Kraft auf Ladungsträger. Ist das elektrische Feld ${\vec {E}}$ und die Ladung des Teilchens $q$, so erfährt das Teilchen die Kraft

${\vec {F}}=q{\vec {E}}$.

Zusammen ergibt dies, dass sich gleichnamige Ladungen abstoßen, ungleichnamige hingegen anziehen, und die Kraft zweier Punktladungen aufeinander mit dem Quadrat des Abstandes abfällt:

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {qQ}{r^{2}}}$

Neben dem Feld einer Punktladung ist auch das Feld einer homogen geladenen Kugel, eines Dipols und zweier paralleler geladener Platten (Plattenkondensator) besonders leicht zu berechnen.

Die Elektrostatik ist auf zeitlich konstante elektrische Felder beschränkt. Zur behandlung zeitlich veränderlicher Felder benötigt man die Elektrodynamik. Nach dieser sind das elektrische und das magnetische Feld nur zwei verschiedene Aspekte eines elektromagnetischen Feldes. Dies führt dazu, dass elektrische Felder nicht nur durch Ladungen, sondern auch durch veränderliche magnetische Felder erzeugt werden können. Zudem bedingt ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld automatisch auch ein Magnetfeld.

Eine Folge davon ist, dass das elektrische Feld bewegter Ladungen im Allgemeinen nicht mehr über das Coulomb-Gesetz berechnet werden kann.

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen Feld eine Kraft erfährt, wird bei ihrer Bewegung durch das elektrische Feld Arbeit verrichtet, bzw. es muss Arbeit verrichtet werden, um die Ladung gegen das elektrische Feld zu bewegen. Da elektrostatische Felder wirbelfrei sind (konservatives Feld), hängt die benötigte Energie nur vom Start- und Zielort ab, nicht vom genauen Weg. Somit lässt sich eine potentielle Energie der Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur Ladung ist, gilt dies auch für die potentielle Energie. Daher kann man die potentielle Energie als Produkt der Ladung und eines Potentials berechnen, welches sich aus dem elektrischen Feld ergibt.

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten bezeichnet man als elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die man benötigt, um das Teilchen vom einen Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist das Volt. Gemäß der Definition von Potential und Spannung gilt Volt = Joule/Coulomb.

Das Konzept der Spannung stößt an seine Grenzen, wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche Magnetfelder lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren, jedoch ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch ist die für eine Bewegung der Ladung von einem Punkt zum anderen benötigte Energie nur so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den Punkten, wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist, da nach der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden, die ebenfalls in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Die Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise homogenes Feld. Ist die Ladung der einen Platte $Q$ und die der anderen Platte entsprechend $-Q$, sowie die Plattenfläche $A$, so hat dieses Feld den Wert

$E={\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}}$.

Ist der Plattenabstand $d$, und bringt man eine kleine Ladung $\mathrm {d} Q$ von der einen auf die andere Platte, so muss gegen das elektrische Feld die Arbeit

$\mathrm {d} W=F\cdot d=E\mathrm {d} Q\cdot d$.

Wegen der Energieerhaltung muss diese Arbeit zu einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. Diese kann aber nur im elektrischen Feld stecken. Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um

$\mathrm {d} E={\frac {\mathrm {d} Q}{\varepsilon _{0}A}}$.

Auflösen nach $\mathrm {d} Q$ und Einsetzen in die Arbeit ergibt

$\mathrm {d} W=\varepsilon _{0}A\cdot d\cdot E\mathrm {d} E$.

Nun ist aber $V=A\cdot d$ gerade das Volumen des elektrischen Feldes. Aufintegrieren und Teilen durch $V$ ergibt die Energiedichte

${\frac {W}{V}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}$.

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Im allgemeinen befasst sie sich mit hohen Spannungen bei niedrigen Stromstärken. Als klassische Beispiele für die elektrostatische Aufladung und Entladung von Körpern kann das Phänomen der Blitze dienen, wobei die Blitze selbst allerdings keine elektrostatischen Phänomene sind, da in ihnen sehr hohe Ströme fließen. Im Kleinen taucht dieser Effekt auf, wenn man mit Gummisohlen bei trockener Luft über einen Teppichboden schlurft und sich dann bei Berührung von einem Metallgegenstand erdet: Man kriegt eine "gewischt", d.h. es findet eine Spontanentladung statt.

Siehe auch: Influenz, Coulomb, Elektrische Kapazität, Elektroskop