Dialogische Logik

Die dialogische Logik (englisch: game semantics) ist ein von den deutschen Logikern und Philosophen Kuno Lorenz und Paul Lorenzen entwickelter spieltheoretischer, semantiknaher Ansatz zur Logik. Die Motivation ist eine im Vergleich zum Ableiten in Logikkalkülen nähere Orientierung am menschlichen Argumentieren.

Jaakko Hintikka hat die dialogische Logik modelltheoretisch um 1960 umformuliert. Shahid Rahman und Helge Rückert haben die dialogische Logik um 1996, kurz bevor sie zu verschwinden drohte, zu einem logischen Rahmen (logical framework) erweitert, um Logiken zu entwicklen, zu vergleichen und zu kombinieren. Dies ermöglichte die dialogische Rekonstruktion von bestimmten komplizierteren Arten des Argumentieren, etwa wenn auf Fiktionen und Modalitäten Bezug genommen wird. Im Kontext des logischen Pluralismus wurden diese Arbeiten von Rahman und Mitarbeitern fortgesetzt. Die Wiederentdeckung der dialogischen Logik wurde begleitet durch neue Entwicklungen in der theoretischen Informatik, der Künstlichen Intelligenz und der Komputerlingistik. Dabei erforschten u.a. Logiker um Johan van Benthem Interaktionen zwischen Spielen und Logik. Es wurden Ergebnisse der linearen Logic von J-Y. Girard einbezogen, außerdem Arbeiten zum Zusammenspiel von mathematischer Spieltheorie und Logik. Die Argumentationstheorie wurde in die Logik einbezogen in Arbeiten von u.a. S. Abramsky, J. van Benthem, A. Blass, D. Gabbay, M. Hyland, R. Jagadeesan, G. Japaridze, E. Krabbe, L. Ong, H. Praakken, D. Walton, J. Woods und G. Sandu. Logik wird damit zu einem dynamischen Instrument des Schließens.

Die Regeln für die Junktoren und Quantoren werden statt der herkömmlichen Wahrheitswerttafeln als Dialogspiel konzipiert. Die logischen Kalkülregeln der Gentzentypkalküle wurden dazu von oben nach unten (upside down) notiert. Der Dialog wird allgemein durch Rahmenregeln und im Detail durch Angriffs- und Verteidigungsregeln für die logischen Operatoren bestimmt.

Wahr heißt eine aus logischen Zeichen zusammengesetzte Aussage, wenn sie sich im Dialog immer gewinnen lässt. Formal wahr wird eine solche Aussage genannt, wenn sie stets gewonnen werden kann, ohne in einen Dialog über die Primaussagen (Elementarsätze, hier kurz: Pa) einzutreten.

Rahmenregeln

1. Der Proponent (rechte Spalte als P notiert) beginnt den Dialog, indem er eine mit logischen Zeichen verknüpfte Aussage äußert.
2. Die Dialogpartner sind abwechselnd am Zug.
3. Das weitere Vorgehen besteht aus Angriffen und Verteidigungen.
4. Ein Angriff stellt ein Recht dar, eine noch angreifbare Aussage des Gegners anzugreifen.
5. Eine Verteidigung ist die Pflicht, sich auf eine angegriffene Aussage zu verteidigen, spätestens wenn man selber nicht mehr angreifen darf.
6. Die Angriffe und Verteidigungen sind in den Partikelregeln normiert.
7. Der Proponent hat gewonnen, wenn er eine angegriffene Elementaraussage (Primaussage oder Atomaussage) verteidigt hat oder wenn der Opponent (auf der linken Spalte mit O notiert) eine angegriffene Elementaraussage nicht verteidigt.

Eine Besonderheit stellt die folgende effektive Rahmenregel dar. Sie lautet:

• Die jeweils zuletzt entstandene Verteidigungspflicht ist zuerst zu erfüllen. Da es gegen eine Verneinung keine Verteidigung gibt (s.u.), entfällt mit jeder erfolgten Verneinung die Möglichkeit für den Gegenspieler, Aussagen zu verteidigen, die vor der Verneinung angegriffen wurden.

Wenn die effektive Rahmenregel gilt, ist die dialogische Logik ein Modell der intuitionistischen Logik. Wenn sie nicht gilt, also wenn jede Aussage zu jedem Zeitpunkt des Dialogs verteidigt werden kann, ist sie ein Modell der klassischen Logik. Intuitionistische (effektive) Logik und klassisch-zweiwertige Logik lassen sich also durch Verwendung oder Wegnahme der effektiven Rahmenregel ineinander überführen.

Angriffs- und Verteidigungsregeln für die logischen Operatoren

Hier sind die Angriffs- und Verteidigungsregeln der dialogischen Logik aufgelistet:

Junktoren	Angriff	Verteidigung
$A\land B$	$L?$	$A$	(und)
$A\land B$	$R?$	$B$	(und)
$A\lor B$	$?$	$A$/$B$	(oder)
$\neg A$	$A?$	...	(nicht)
$A\rightarrow B$	$A?$	$B$	(wenn–dann)

Die letztgenannte Junktor-Operation wenn-dann wird hier Subjunktion, sonst meist Implikation genannt.

Quantoren	Angriff	Verteidigung
$\bigwedge x\;A(x)$	$n?$	$A(n)$
$\bigvee x\;A(x)$	$?$	$A(n)$

Quantorzeichen: $\bigvee$ (Einsquantor: "für ein") bzw. $\bigwedge$ (Allquantor: "für alle")

Beispiele

Hier als einfaches Beispiel ein Dialog um $a\rightarrow a$. Die Aussage ist formal logisch wahr:

$O$	$P$
	$a\rightarrow a$
$a?$		(Die Subjunktionbehauptung wird angegriffen nach der Subjunktionsregel: Die voranstehende Pa wird behauptet.)
	$a$	(Als Verteidigung wird die nachstehende Pa genannt, dies ist gleichzeitig auch eine Übernahme des $a$ der vorigen Zeile.)

$P$ kann den Dialog immer gewinnen, denn er kann $a$ übernehmen.

Im folgenden weitere Beispiele, zunächst für den klassisch und intuitionistisch wahren Satz $A\rightarrow \neg \neg A$, dann für den nur klassisch wahren Satz $\neg \neg A\rightarrow A$.

Es wird hier auch bei Verteidigungen angegeben, gegen welchen Angriff sie sich richten. „1!“ heißt also „verteidigt sich gegen den Angriff unter 1“, und „1?“ bedeutet „greift die Aussage unter 1 an“. Klammern bezeichnen Züge, die unter Einhaltung der effektiven Rahmenregel nicht möglich sind.

		$O$		$P$
1.				$A\rightarrow \neg \neg A$
2.	$1?$	$A$	$2!$	$\neg \neg A$
3	$2?$	$\neg A$	$3?$	$A$
4	$3?$		$2?$

$P$ stellt in Schritt 3 eine Primaussage, nämlich $A$ auf, die $O$ in Schritt 2 schon behauptet hat. Nach den Regeln ist der Dialog damit für $P$ gewonnen.

Ganz anders sieht es für $\neg \neg A\rightarrow A$ aus:

		$O$		$P$
1.				$\neg \neg A\rightarrow A$
2.	$1?$	$\neg \neg A$	$2?$	$\neg A$
3.	$2?$	$A$	($2!$)	$A$

Im letzten Schritt verteidigt $P$ die Aussage unter 1, die $O$ in Schritt 2 angegriffen hat. Da $O$ nach Schritt 2 noch Aussagen von $P$ angegriffen hat, ist die Verteidigung nur in der klassischen Logik möglich, nicht aber in der intuitionistischen Logik. Auch ein anderer Spielverlauf hilft nicht:

		$O$		$P$
1.				$\neg \neg A\rightarrow A$
2.	$1?$	$\neg \neg A$	$2!$	$A$
3.	$2?$		$2?$	$\neg A$
4.	$3?$	$A$	($3!$)	$A$

$O$ greift in Schritt 3 die Primaussage $A$ an. Obwohl er sie in Schritt 4 selbst einräumt, kann P sich nicht mehr gegen diesen Angriff verteidigen, da inzwischen ein weiterer Angriff erfolgt ist.

Da der Proponent keinen Spielverlauf erzwingen kann, wo er unter Einhaltung der effektiven Rahmenregel gewinnt, ist die Aussage $\neg \neg A\rightarrow A$ in der intuitionistischen Logik nicht zu beweisen. In der klassischen Logik hingegen gilt sie, wie die Beispiele zeigen.

Anwendungen

Interessant sind die speziellen Effekte, die bei der (intuitionistischen) Interpretation des Subjunktors ($\rightarrow$) auftreten: Während des Dialogs sind auch nicht wahrheitsdefinite (eine Aussage ist entweder wahr oder falsch) Aussagen erlaubt. Der Wahrheitswert der Aussagen kann in einem Schwebezustand belassen bleiben. Bei der effektiven Rahmenregel wird der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht voraussetzt. Erst bei Abschluss des Dialogs steht der Wahrheitswert der Gesamtaussage fest. Carl Friedrich von Weizsäcker hat einige dieser Regeln für die Interpretation der Quantenphysik durch zeitliche Logik aufgenommen. (Ein berühmtes vereinfachtes Beispiel der Quantenlogik von C.F. v. Weizsäcker: Während wir überlegen, ob der Mond untergeht oder nicht, geht er unter.)

Weitere Anwendungen ergeben sich für die Argumentationstheorie, da die dialogische Logik im Verlauf des Dialogs aufzeigt, wer wann Beweislast für Tatsachenbehauptungen in Form von Elementaraussagen übernimmt.

Websites

• Link Zusammenhang zur Rechtsinformatik
• GALOP: Workshop on Games for Logic and Programming Languages
• Wilfrid Hodges: logic and games. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Literatur

• S.Abramsky and R.Jagadeesan, Games and full completeness for multiplicative linear logic. Journal of Symbolic Logic 59 (1994): 543-574.
• A.Blass, A game semantics for linear logic. Annals of Pure and Applied Logic 56 (1992): 151-166.
• T.Aho and A-V. Pietarinen (eds.), Truth and Games. Essays in Honour of Gabriel Sandu. Societas Philosophica Fennica (2006): 151-166.ISBN 951-9264-57-4.
• J.van Benthem, Logic in Games. Elsevier (2007).
• J.van Benthem, G. Heinzmann, M. Rebuschi, H. Visser (eds.). The Age of Alternative Logics. Springer (2006). ISBN 1-4020-5011-9.
• Girard, Jean-Yves. Linear logic, Theoretical Computer Science, London Mathematical 50:1, pp. 1-102, 1987.
• Girard, Jean-Yves, Lafont, Yves, and Taylor, Paul. Proofs and Types. Cambridge Press, 1989. (An electronic version is online at [1].)
• Inhetveen, R.: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. EaG, Leipzig 2003 (EAGLE 002) ISBN 3-937219-02-1
• G.Japaridze, Introduction to computability logic. Annals of Pure and Applied Logic 123 (2003): 1-99.
• Kamlah, W. und P. Lorenzen: Logische Propädeutik (oder) Vorschule des vernünftigen Redens. BI, Mannheim 1967, ²1973, Nachdruck 1990 & 1992; seit 1996 bei Metzler Stuttgart; engl.: Logical Propaedeutic. Pre-School of Reasonable Discourse. (Transl. H. Robinson) University Press of America, Lanham 1984 ISBN 3-411-05227-9
• Krabbe, E. C. W. mit W. Hodges: Dialogue Foundations. The Aristotelian Society: Supplementary Volume 75 (The Symposia Read at the Joint Session of the Aristotelian Society and the Mind Association at the University of York July 2001), 17-49; Part II: Dialogue Logic Restituted. (Title misprinted as ‘Dialogue Logic Revisited’) pp. 33-49
• Lorenz, K. und P. Lorenzen: Dialogische Logik. WBG, Darmstadt 1978
• Haas, G.: Konstruktive Einführung in die formale Logik. BI, Mannheim 1984 ISBN 3411016280
• Lorenzen, P.: Einführung in die operative Logik und Mathematik. Springer, Berlin 1955, ²1969 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 78)
• Lorenzen, P.: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. BI, Mannheim 1987, seit 2000 Metzler, Stuttgart ISBN 3-476-01784-2
• Austin Melton: Mathematical Foundations of Programming Semantics. Springer, 1986, ISBN 3540168168.
• S. Rahman, Über Dialogue protologische Kategorien und andere Seltenheiten. Frankfurt 1993 ISBN 3-631-46583-1
• S. Rahman and L. Keiff, On how to be a dialogician. In Daniel Vanderken (ed.), Logic Thought and Action, Springer (2005), 359-408. ISBN 1-4020-2616-1.
• S. Rahman and H. Rückert (editors), New Perspectives in Dialogical Logic. Synthese 127 (2001) ISSN 0039-7857.