Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (bzw. antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist.

Mathematisch:

$A^{T}=-A$

bzw. für die Einträge

$a_{ij}=-a_{ji}\qquad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Eigenschaften

Körpercharakteristik ungleich 2

Eigenschaften für Körper $\mathbb {F}$ der Charakteristik ungleich 2:

1. Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind Null
2. Ist $n$ ungerade, so ist ihre Determinante wegen $\operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (A)$ gleich Null.

Vektorraum

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum. Ist der Körper $\mathbb {F} =\mathbb {R}$, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit ${\mathfrak {so}}(n)$. Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bzgl. des kanonischen Skalarprodukts gerade

${\begin{matrix}\operatorname {Pr} :&\mathbb {R} ^{n\times n}&\to &{\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(n)\\&A&\mapsto &{\frac {1}{2}}(A-A^{T})\end{matrix}}$

Der orthogonale Rest ist die symmetrische Matrix

$A-Pr(A)={\frac {1}{2}}(A+A^{T})$.

Exponentialabbildung

Die Abbildung

${\begin{matrix}exp:&{\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(n)&\to &\operatorname {SO} (n)\\&A&\mapsto &\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}\end{matrix}}$

konvergiert, ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix $I_{n}$ (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt

Die schiefsymmetrische Matrix kann verwendet werden um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken:

$a\times b=S_{a}b$

Dabei ist die schiefsymmetrische Matrix $S_{a}$ definiert als:

$S_{a}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}$

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden, etwa zur Berechnung der Fehlerfortpflanzung.

Siehe auch

• Symmetrische Matrix