Benutzer Diskussion:HeinrichKü

Vorschlag als Einführungskapitel (ohne Namen) zum Hauptthema Regler

Regler vergleichen innerhalb eines Regelkreises kontinuierlich das Signal des Sollwertes mit dem gemessenen und zurückgeführten Istwert der Regelgröße und ermitteln aus dem Unterschied der beiden Größen - der Regelabweichung (Regeldifferenz) - eine Stellgröße, welche die Regel-Strecke so beeinflusst, dass die Regelabweichung zu einem Minimum wird. Weil die einzelnen Regelkreisglieder beim Signaldurchlauf ein Zeitverhalten haben, muss der Regler die Regelabweichung verstärken und gleichzeitig das Zeitverhalten der Strecke so kompensieren, dass die Regelgröße den Sollwert in gewünschter Weise – von aperiodisch bis gedämpft schwingend - erreicht. Falsch eingestellte Regler machen den Regelkreis zu langsam, führen zu einer großen Regelabweichung oder zu ungedämpften Schwingungen der Regelgröße und unter Umständen zur Zerstörung der Regelstrecke. Neben dem Einschwingverhalten der Regelgröße auf den Sollwert interessiert:

• Regelabweichung bei statischen und dynamischen Eingangsgrößen

• Regelabweichung bei statischen und dynamischen Störgrößen

Das Verhalten der Regelkreisglieder wird durch Differentialgleichungen beschrieben. Bei linearen Systemen ist es vorteilhaft, die Regelkreisglieder nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich als so genannte Übertragungsfunktion zu betrachten.

Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis von Ausgangssignal zu Eingangssignal als Funktion der komplexen Frequenz s.

Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion. Er kennzeichnet das Verhalten eines Systems mit erzwungener Dauerschwingung und der imaginären Frequenz p=j$\omega$. Beide Begriffe unterscheiden sich nur durch die Entstehungsweise. Der entscheidende Vorteil der Umwandlung der Funktionen vom Zeitbereich zum Frequenzbereich ist die algebraische Behandlung der Übertragungsfunktionen.

Sämtliche Daten für die Kriterien der Stabilität wie Pole, Nullstellen, Verstärkung und Zeitkonstanten lassen sich aus den Übertragungsfunktionen der Regelkreisglieder ableiten.

1 Einführung und Übersicht

Der Einsatz von Reglern ist so vielfältig und unterschiedlich, wie es Regelaufgaben aus allen Bereichen des Haushaltes, der Industrie, der Luft- und Raumfahrt, Forschung usw. gibt.

Die Auslegung und Funktion des Reglers ist neben wirtschaftlichen Aspekten ausschließlich von der Art der Regelstrecke und dem geforderten zeitlichen Verlauf der Regelgröße - dem Führungs- und Störverhalten - abhängig.

Man unterscheidet 2 Arten von Reglern, stetige Regler und unstetige Regler.

Stetige Regler mit analogem oder digitalem Verhalten können für lineare Regelstrecken verwendet werden. Digitale Regler haben den Vorteil einer universellen Anpassung an die unterschiedlichsten Regelaufgaben, jedoch verlangsamen sie den Regelprozess durch die Abtastzeit der Regelgröße und Rechenzeit im Einsatz bei schnellen Regelstrecken. Für einschleifige lineare Regelsysteme kommen je nach Verhalten der Regelstrecke meistens die klassischen analogen P-, PI-,PD- und PID-Regler zur Anwendung. Nicht stabile Regelstrecken, die z.B. durch positive Rückkopplungseffekte (Mitkopplung) entstehen können, sind ebenfalls mit diesen Reglern beherrschbar.

Für komplexere Regeleinrichtungen mit nichtlinearen Regelstrecken oder mehrere miteinander verknüpfte Regelgrößen und Stellgrößen sind besonders angepasste Regler – meist digitale Regler - erforderlich. Hierbei kommen vermaschte Regelungen, Mehrgrößenregelungen, Regelungen im Zustandsraum, modellbasierte Regelungen usw. zum Einsatz.

Zu den unstetigen Reglern gehören die 2-Punkt-, Mehrpunkt- und Fuzzy-Regler.

Die 2-Punkt-Regler können einfachste Regelaufgaben zufrieden stellend lösen. Sie vergleichen die Regelgröße mit einem meist mit Hysterese behaftetes Schaltkriterium und kennen nur die Zustände „Energie aktiv“ oder „keine Energie“.

Bei Mehrpunktreglern kommen unterschiedliche Energiearten zur Anwendung (z.B. Heizung, Kühlung). Der Regler wird erweitert auf das Schaltkriterium der Regelgröße mit „größer“, oder „kleiner“ oder „gleich“

Die Regelstrecke bestimmt die Frequenz, mit der die Energieimpulse konstanter Größe wirken. Die Regelgröße schwingt innerhalb der Grenzen eines Toleranzbandes. Mit einer zeitbehafteten Rückführung des Reglerausgangs auf die Regelabweichung kann man die Regelfrequenz beschleunigen und damit das Toleranzband schmälern.

Fuzzy-Regler arbeiten mit so genannten „linguistischen Variablen“, welche sich auf „unscharfe Mengenangaben“ beziehen, wie z.B. hoch, mittel und niedrig. Die „Regelbasis“ verknüpft die fuzzifizierten Ein- und Ausgangssignale mit logischen Regeln wie WENN-Teil und DANN-Teil. Mit der Defuzzifizierung wird die unscharfe Menge wieder in scharfe Stellbefehle gewandelt. (z.B. Ventilkombinationen für „Kraft Aufbau“ oder „Kraft Abbau“ oder „Kraft halten“) Diese Regler gelten als robust und arbeiten auch bei Änderung der Regelstrecken-Parameter zuverlässig. Sie können in Bezug auf Genauigkeit oder Schnelligkeit keinen angepassten P-, I-, PD-, PI- oder PID-Regler an einer stetigen Regelstrecke ersetzen!

Beispiel für einen Fuzzy-Regler: Ein Bremsenhersteller für Schienenfahrzeuge benutzt zur Vermeidung von Radgleiten bei schlechten Schienenhaftwerten bereits einen Fuzzy-Regler seit den frühen 90-ger Jahren im In- und Ausland. Das Haftwertoptimum für die zugehörige Radgeschwindigkeit liegt in einem bestimmten Abstand unterhalb der erfassten Fahrzeuggeschwindigkeit. Quantisierte Signale der Rad-Geschwindigkeit und der Rad-Verzögerung werden einer Matrix als Spalten- und Zeilenelementen zugeordnet. Die Matrixelemente sind mit Stellbefehlen verknüpft, die z.B. die Bremskraft eines Rades zurücknehmen, verstärken oder festhalten. Damit wird das Fahrzeug bei schlechten Haftwerten innerhalb eines Haftwertoptimums gebremst.

Aus der früheren Regelungstechnik des 20. Jahrhundert ist ein Fallbeispiel eines mechanischen Programmreglers zu nennen.

Historisch dokumentierte Regeleinrichtungen sind seit dem 18. Jahrhundert bekannt. Dazu gehört z.B. ein Wasserstandsregler über Schwimmer und besonders erwähnenswert ist der 1788 erfundene „Zentrifugalregulator“ von James Watt zur Drehzahlregelung von Dampfmaschinen.

2. Lineare Standard-Regler

Die Übertragungsfunktion eines Systems entsteht z.B. durch Austausch der zeitabhängigen Terme einer Differentialgleichung mit den Laplace-Transformierten. Voraussetzung ist, dass die Anfangsbedingung des Systems Null ist.

Je nach Grad der Ableitungen einer Funktion x(t) entstehen nach der Transformation folgende Laplace-Transformierte:

$L[{\frac {}{}}x(t)]=x(s)$

$L[{\frac {d}{dt}}x(t)]=s*x(s)$

$L[{\frac {d^{2}}{dt}}x(t)]=s^{2}*x(s)$

Der Grad der Ableitung im Zeitbereich und zugehörige Transformierte im Bildbereich kann in dieser Weise beliebig fortgesetzt werden.

Für das Integral gilt die Laplace-Transformierte:

$L[\int {x(t)dt}]={\frac {1}{s}}*x(s)$

Lautet beispielsweise die Differentialgleichung eines PID-Reglers:

$u(t)=K_{P}(e(t)+{\frac {1}{T_{N}}}\int e(t)dt+T_{V}{\frac {d}{dt}}e(t))$

Die Terme e(t), deren Ableitung und Integral werden durch die Laplace-Transformierten f(s) ersetzt:

$U(s)=K_{P}(E(s)+{\frac {E(s)}{T_{N}*s}}+T_{V}*s*E(s))$

Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis von Ausgang zu Eingang einer Funktion:

${\frac {U}{E}}(s)=K_{P}(1+{\frac {1}{T_{N}*s}}+T_{V}*s)=K_{P}{\frac {T_{N}*T_{V}*s^{2}+T_{N}*s+1}{T_{N}*s}}$

In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (stabilen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende 3 Grundformen geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen:

• G1(s)=T*s (Zähler: Differenzierer, D-Glied, Nenner: Integrator, I-Glied)

• G2(s)=T*s+1 (Zähler: PD-Glied; Nenner: Verzögerung, PT1-Glied)

• G3(s)=T²*s²+2DT*s+1 (Zähler: PD-Glied 2. Ordnung, Nenner: Schwingungsglied für D<=0)

Dabei bedeuten: T = Zeitkonstante, s = komplexe Frequenz = Laplace-Operator, D= Dämpfungsgrad, Die Zeitkonstanten im Frequenzbereich entsprechen einer dimensionslosen Zahl.

Bei so genannten nichtregulären (instabilen) Systemen lauten die Übertragungsfunktionen:

• G4(s)=T*s-1 und G5(s)=T²*s²-2DT*s+1

Liegen Zähler- oder Nennerpolynome der Übertragungsfunktion vor, müssen erst die Nullstellen je nach Grad der Polynome gegebenenfalls mit aufwendigen Rechenverfahren ermittelt werden, um die Polynome in faktorielle Grundglieder zu zerlegen.

Regelsysteme können definiert werden als:

• Reihenschaltung: G(s)=G1(s) * G2(s). Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden, Systemausgänge werden nicht durch nachfolgende Eingänge belastet.

• Parallelschaltung: G(s)=G1(s)±G2(s),
• Gegen- und Mitkopplung: G(s)= G1/(1±G1*G2)

Die linearen Standard-Regler wie:

• P-Regler (P-Glied) mit proportionalem Verhalten,

• I-Regler (I-Glied) mit integralem Verhalten,

• PI-Regler (1 I-Glied, 1 PD-Glied) mit proportionalem und Integralem Verhalten,

• PD-Regler (PD-Glied) mit proportionalem und differentialem Verhalten,

• PID-Regler (1 I-Glied, 2 PD-Glieder) mit proportionalem, integralem und differentialem Verhalten,

lassen sich bereits mit den ersten beiden der genannten Terme der Grundformen der Übertragungsfunktionen in faktorieller Darstellung beschreiben.

Beispielsweise lautet die Produktdarstellung eines PI-Reglers:

${\frac {X_{A}}{X_{E}}}(s)={\frac {T_{N}*s+1}{T_{N}*s}}$

Es handelt sich also bei einem PI-Regler um einen Regler mit einem PD-Glied und einem I-Glied mit der Verstärkung KPI = 1/Tn

Diese Produktdarstellung ist auch für den Entwurf des Reglers sehr bedeutsam, weil sich die Terme der Übertragungsfunktionen algebraisch behandeln lassen. So können bei Kenntnis der Übertragungsfunktionen der Strecke durch den Regler Anteile der Strecke mit gleichen Zeitkonstanten kompensiert werden, d.h. Nullstellen des Reglers kompensieren Polstellen der Strecke um die Ordnung der Regelstrecke zu reduzieren. Dies ist sowohl algebraisch als auch durch Betrachtung im Bodediagramm verständlich. Die Auslegung des Reglers vereinfacht sich auf diese Weise.

Ein weiterer Vorteil der Produktdarstellung der Übertragungsfunktion ist die Darstellung des Frequenzgangs im Bodediagramm. Die Pole und Nullstellen können direkt abgelesen werden.

Übliche Testsignale für Regelkreisglieder sind: Eingangssprung (Sprungantwort), Anstiegsfunktion und Stoßfunktion (Deltafunktion)

Welcher Regler zum Einsatz kommt, hängt ganz von den Eigenschaftender Regelstrecke ab. Es ist zu klären:

• Anzahl der Verzögerungsglieder, Anzahl der zugehörigen dominanten Zeitkonstanten!
• ist eine Totzeit vorhanden?
• liegt eine Sprungantwort der Regelstrecke vor, die sich als Ersatztotzeit mit Ersatzzeitkonstante definieren lässt?
• enthält die Strecke ein I-Glied oder ein instabiles T1-Glied?

2.1 P-Regler

Der P-Regler besteht ausschließlich aus einem proportionalen Anteil der Verstärkung Kp. Mit seinem Ausgangssignal u ist er proportional dem Eingangssignal e.

Das Übergangsverhalten lautet:

u(t) = Kp * e(t)

Die Übertragungsfunktion lautet:

${\frac {U}{E}}(s)=K_{P}$

Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Sprungantwort. Der P-Regler hat eine gewählte Verstärkung von Kp = 2.

Eigenschaften des P-Reglers:

• Wegen des fehlenden Zeitverhaltens reagiert der P-Regler unmittelbar, jedoch ist sein Einsatz sehr begrenzt, weil die Verstärkung je nach Verhalten der Regelstrecke stark reduziert werden muss.
• Der Regelfehler einer Sprungantwort nach dem Einschwingen der Regelgröße als „bleibenden Regelabweichung“ beträgt 100 / Kp [%]
• Bei einer Regelstrecke mit einem T1-Glied (Verzögerungsglied 1. Ordnung) kann die Verstärkung theoretisch unendlich hoch gewählt werden, was anhang des Bodediagramms und des Phasengangs leicht verständlich ist. Die bleibende Regelabweichung ist praktisch vernachlässigbar! Das Einschwingen der Regelgröße ist aperiodisch!
• Bei einer Regelstrecke mit 2 T1-Gliedern und 2 dominanten Zeitkonstanten sind die Grenzen dieses Reglers erreicht. Z.B. ergibt die Sprungantwort bei Kp = 10 eine bleibende Regelabweichung von 10 %, eine erste Überschwingung von 35 % bei einem Dämpfungsgrad D = 0,18. Mit steigender Verstärkung wird die Regelabweichung kleiner, die Überschwingung größer und die Dämpfung schlechter. Diese Daten gelten für 2 gleiche Zeitkonstanten sind unabhängig von deren Größe!

2.2 I-Regler

Ein I-Regler (integrierender Regler, I-Glied) wirkt durch zeitliche Integration der Regelabweichung e auf die Stellgröße mit der Gewichtung durch die Nachstellzeit Tn.

Die Differentialgleichung lautet:

$u(t)={\frac {1}{T_{N}}}\int _{0}^{t}e(t)*dt$

Die Übertragungsfunktion lautet:

${\frac {U}{E}}{(s)}={\frac {1}{T_{N}*s}}={\frac {K_{I}}{s}}$ Verstärkung $K_{I}={\frac {1}{T_{N}}}$

Die Zeitkonstante Tn ist im Frequenzbereich dimensionslos.

Eine konstante Regeldifferenz e(t) führt von einem Anfangswert des Ausgangs u1(t) zum linearen Anstieg des Ausgangs u2(t) bis zu seiner Begrenzung. Die Nachstellzeit Tn bestimmt den Gradienten des Anstiegs.

u(t) = KI * e(t) * t für e(t) = konstant

Die Nachstellzeit z.B. Tn = 2 s bedeutet, dass zur Zeit t=0 der Ausgangswert u nach 2 s die Größe des konstanten Eingangswertes e erreicht hat.

Das Diagramm zeigt das Ergebnis der Sprungantwort des I-Gliedes. Die Zeitkonstante beträgt Ti = 1 s. Der Eingangssprung hat die Größe e = 1.

Zusammenfassung der Eigenschaften des I-Reglers

• Der I-Regler ist auf Grund seiner (theoretisch) unendlicher Verstärkung ein genauer aber langsamer Regler. Er hinterlässt keine bleibende Regelabweichung. Weil er eine zusätzliche Nullstelle mit einem Phasenwinkel von -90 ° im aufgeschnittenen Regelkreis einfügt, kann nur eine schwache Verstärkung KI bzw. große Zeitkonstante Tn eingestellt werden.
• Für eine Regelstrecke mit 2 T1-Gliedern kann bei 2 dominanten Zeitkonstanten bereits volle Instabilität bei geringer Verstärkung KI entstehen. Für diese Art Regelstrecken ist der I-Regler kein geeigneter Regler.
• Bei einer Regelstrecke mit I-Glied im Regelkreis ohne zusätzliche Verzögerungen gilt für alle Werte der Kreisverstärkung K = Ki1 * Ki2 Instabililität mit konstanter Amplitude. Die Schwingfrequenz ist eine Funktion von K (für K>0).
• Der I-Regler ist die erste Wahl für eine Regelstrecke mit dominanter Totzeit Tt oder Totzeit ohne weitere T1-Glieder. Evt. kann ein PI-Regler eine minimale Verbesserung erzielen. Optimale Einstellung bei vernachlässigbaren Verzögerungen:

KI = 0,5 / Tt für eine Überschwingung von 4 %, die Regelgröße erreicht den Sollwert nach Tt * 3,7, D 0,5. Diese Einstellungen gelten für alle Tt-Werte

• Spezialfall: Beim I-Regler kann bei Begrenzung des Stellgliedes ein wind-up-Effekt auftreten, d.h. der I-Regler läuft in die Begrenzung und verursacht beim Rücklauf ungewollte Verzögerungen.

2.3 D-Glied (Differenzierer)

Das D-Glied ist ein Differenzierer, der nur in Verbindung zu Reglern mit P- und / oder I-Verhalten als Regler eingesetzt wird. Er reagiert nicht auf die Regelabweichung , sondern nur auf deren Änderungsgeschwindigkeit.

Differentialgleichung:

$u(t)={T_{V}}{\frac {d}{dt}}e(t)$

Übertragungsfunktion:

${\frac {U}{E}}{(s)=T_{V}*s}$

Tv = Vorhaltezeit, Tv = KD, KD = Differenzierbeiwert,

Die Sprungantwort des (idealen) D-Gliedes, wie im zugehörigen Diagramm gezeigt, ist eine Stoßfunktion mit theoretisch unendlicher Größe. Der Eingangssprung ist als Testsignal nicht geeignet.

Ein brauchbares Testsignal für das D-Glied ist die Anstiegsfunktion:

$e(t)=K_{A}*t$ mit der Anstiegskonstante $K_{A}={\frac {de}{dt}}$

Nach der Laplace-Transformation wird $E(s)={\frac {K_{A}}{s^{2}}}$

Die Anstiegsfunktion E(s) wird in der Übertragungsfunktion des D-Gliedes eingesetzt. Damit wird die Ausgangsgröße des D-Gliedes:

$U(s)=T_{V}*K_{A}{\frac {s}{s^{2}}}={T_{V}*K_{A}}{\frac {1}{s}}$

und nach der Rücktransformation wird die Ausgangsgröße:

$u(t)=T_{V}*K_{A}=K_{D}*K_{A}$, Tv=KD

Daraus ist ersichtlich, dass eine Anstiegsfunktion ein konstantes Ausgangssignal am D-Glied hervorruft. Das Größe des Ausgangssignals ist von dem Produkt Anstiegskonstante und Differenzierbeiwert abhängig.

Das bisher betrachtete Verhalten gilt für den idealen Differenzierer. Allgemein gilt für ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höher Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar. Es ist nicht möglich, beliebig schnelle Eingangssignale wie z. B. beim Eingangssprung durch unvertretbar hohe Stellgrößenamplituden zu verwirklichen. Deshalb wird zu dem Differenzierer eine kleine Verzögerung (T1-Glied) zugefügt, deren Zeitkonstante T wesentlich kleiner sein muss als die Zeitkonstante Tv. Die Übertragungsfunktion des realen D-Gliedes lautet damit:

${\frac {U}{E}}(s)={\frac {T_{V}*s}{T*s+1}}$ mit Tv>>T

Eine Sprungantwort des realen D-Gliedes verläuft mit begrenzter Größe des Stoßes asymptotisch nach Null. Die Beachtung der realen Übertragungsfunktion gilt in erster Linie der Realisierung des Reglers in analoger Technik. Siehe PID-Regler!

Zusammenfassung der Eigenschaften des D-Gliedes:

• Es kann nur differenzieren, nicht regeln.
• Es wird vorzugsweise als Komponente in PD- und PID-Reglern eingesetzt.
• Es kann theoretisch als ideales D-Glied ein I-Glied einer Regelstrecke vollständig bei gleichen Zeitkonstanten kompensieren.
• Eine lineare Anstiegsfunktion am Eingang bewirkt eine konstante Ausgangsgröße, die proportional der Zeitkonstante Tv ist.
• Die Sprungantwort ist eine Stoßfunktion, die beim realen D-Glied eine endliche Größe aufweist und nach einer e-Funktion auf Null abklingt.

2.4 PI-Regler

Der PI-Regler besteht aus den Anteilen des P-Gliedes Kp und I-Gliedes. Er kann sowohl aus reiner Parallelstruktur oder aus einer gemischten Reihen- und Parallelstruktur definiert werden.

Bei der reinen Parallelstruktur ist es deshalb notwendig, dass das I-Glied mit der Verstärkung Kp multipliziert wird. Anschließend wird Kp dann als gemeinsamer Faktor vor den Klammeraus-druck gesetzt.

Differentialgleichung:

$u(t)=K_{P}(e(t)+{\frac {1}{T_{N}}}\int _{0}^{t}{e(t)}dt)$

Übertragungsfunktion in der Summendarstellung

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{P}+{\frac {K_{P}}{T_{N}*s}}=K_{P}(1+{\frac {1}{T_{N}*s}})$

Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Produktdarstellung:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{PI}{\frac {T_{N}*s+1}{s}}$ Kpi = Kp/Tn ist die Verstärkung des PI-Reglers

Aus dieser Produktdarstellung der Übertragungsfunktion ist ersichtlich, dass 2 Regelsysteme als Einzelsysteme zu einer Reihenschaltung geworden sind. Es handelt sich hierbei um ein PD-Glied und um ein I-Glied mit der Verstärkung Kpi, welche sich aus den Beiwerten Kp und Tn errechnen. Signaltechnisch wirkt der PI-Regler gegenüber dem I-Regler nach einem Eingangssprung, dass dessen Wirkung um die Nachstellzeit Tn vorverlegt ist. Durch den I-Anteil wird die stationäre Genauigkeit gewährleistet, die Regelabweichung wird nach dem Einschwingen der Regelgröße zu Null, richtige Parametrierung vorausgesetzt.

Zusammenfassung der Eigenschaften des PI-Reglers:

• Er kann mit dem PD-Glied ein T1-Glied der Strecke kompensieren und damit die Regelstrecke vereinfachen.
• Durch das I-Glied wird im stationären Zustand die Regelabweichung zu Null. Nachteilig ist die Wirkung einer zusätzlichen Polstelle mit -90 ° Phasenwinkel in dem offenen Regelkreis. Deshalb ist der PI-Regler kein schneller Regler.
• Es gibt nur 2 Einstellparameter, Kpi und Tn
• Er kann optimal an einer Regelstrecke höherer Ordnung eingesetzt werden, von der nur die Sprungantwort bekannt ist. Durch Ermittlung der Ersatztotzeit Tu = Verzugszeit und der Ersatzverzögerungs-Zeitkonstante Tg = Ausgleichszeit kann das PD-Glied des Reglers die Zeitkonstante Tg kompensieren. Für die I-Regler-Einstellung der verbleibenden Regelstrecke mit Ersatztotzeit gelten die bekannten Einstellvorschriften.
• Er kann eine Regelstrecke mit 2 dominanten Zeitkonstanten von T1-Gliedern regeln, wenn die Kreisverstärkung reduziert wird und die längere Dauer des Einschwingens der Regelgröße auf den Sollwert akzeptiert wird. Dabei kann mit Kpi jeder gewünschte Dämpfungsgrad D eingestellt werden, von aperiodisch (D=1) bis schwach gedämpft schwingend (D gegen 0).

2.5 PD-Regler

Der PD-Regler besteht aus der Kombination eines P-Gliedes Kp mit einem D-Glied. Die Übertragungsfunktion kann aus der Parallelstruktur definiert werden, wenn auch das D-Glied mit der P-Verstärkung Kp multipliziert wird. Kp wird dann als gemeinsamer Faktor vor den Klammerausdruck gesetzt.

Die Differentialgleichung lautet:

$u(t)=K_{P}(T_{V}{\frac {d}{dt}}e(t)+e(t))$

Die Übertragungsfunktion lautet für den idealen Regler:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{P}+K_{P}*T_{V}*s=K_{P}(T_{V}*s+1)$

Wie beim D-Glied gilt auch hier für ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höher Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar. Es ist nicht möglich, beliebig schnelle Eingangssignale wie z. B. beim Eingangssprung, unvertretbar hohe Stellgrößen-Amplituden zu verwirklichen. Deshalb wird zu dem Differenzierer eine kleine Verzögerung (T1-Glied) zugefügt, deren Zeitkonstante T wesentlich kleiner sein muss als die Zeitkonstante Tv.

Die Übertragungsfunktion des realen PD-Regler lautet damit:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{P}{\frac {T_{V}*s+1}{T*s+1}}$ für Tv>>T

Die Beachtung der realen Übertragungsfunktion gilt in erster Linie der Realisierung des Reglers in analoger Technik. Es ist zu prüfen, ob die Verzögerung gegenüber anderen Verzögerungen im offenen Regelkreis vernachlässigt werden kann. Für die Realisierung in digitaler Technik tritt das Problem der großen Stellgrößenamplituden nicht auf. Siehe PID-Regler!

Die Sprungantwort ist wie beim D-Glied eine Stoßfunktion, die beim PD-Regler dem P-Anteil überlagert ist. Deshalb ist die Anstiegsfunktion für den PD-Regler das geeignete Testsignal.

Für die Anstiegsfunktion definiert sich die Vorhaltezeit Tv als die Zeit, bei der ein reiner P-Regler vor beginn der Anstiegsfunktion beginnen müsste, um auf den Wert zu kommen, den das D-Glied bewirkt.

Der PD-Regler ist ein sehr schneller Regler, denn er fügt im Gegensatz zum PI-Regler keinen zusätzlichen Pol in den offenen Regelkreis ein. Gegenüber dem P-Regler kann der PD-Regler ein T1-Glied kompensieren. Der Nachteil der bleibenden Regelabweichung begrenzt seine Verwendung.

Zusammenfassung der Eigenschaften des PD-Reglers:

• Er kann ein T1-Glied der Regelstrecke kompensieren und damit die Regelstrecke vereinfachen
• Der ideale PD-Regler kann gegenüber dem P-Regler bei einer Regelstrecke mit 2 T1-Gliedern theoretisch mit unendlich hoher Verstärkung arbeiten. Die bleibende Regelab-weichung ist praktisch vernachlässigbar! Das Einschwingen der Regelgröße ist aperiodisch!
• Der Regelfehler einer Sprungantwort nach dem Einschwingen der Regelgröße als bleibenden Regelabweichung beträgt 100 / Kp [%]

2.6 PID-Regler

Der PID-Regler besteht aus den Anteilen des P-Gliedes Kp, des I-Gliedes und des D-Gliedes. Er kann sowohl aus reiner Parallelstruktur oder aus einer gemischten Reihen- und Parallelstruktur definiert werden.

In dem Strukturbild ist die Parallelschaltung dargestellt.

Bei der reinen Parallelstruktur ist es deshalb notwendig, dass das I-Glied und das PD-Glied mit der Verstärkung Kp multipliziert wird. Anschließend wird Kp dann als gemeinsamer Faktor vor den Klammerausdruck gesetzt.

Differentialgleichung:

$u(t)=K_{P}(e(t)+{\frac {1}{T_{N}}}\int _{0}^{t}{e(t)}dt)+{\frac {d}{dt}}e(t)+e(t))$

Übertragungsfunktion in Summendarstellung:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{P}+{\frac {K_{P}}{T_{N}*s}}+K_{P}*T_{V}*s=K_{P}(1+{\frac {1}{T_{N}*s}}+T_{V}*s)$

Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Produktdarstellung:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{P}{\frac {T_{N}*T_{V}*s^{2}+T_{N}*s+1}{T_{N}*s}}$

Das Zählerpolynom kann durch die Bestimmung der Nullstellen aufgelöst werden. Damit lautet die ideale Übertragungsfunktion in Produktdarstellung:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{PID}{\frac {(T_{1}*s+1)(T_{2}*s+1)}{s}}$ Mit der Reglerverstärkung $K_{PID}={\frac {K_{P}}{T_{N}}}$

Wie beim D-Glied und PD-Regler gilt auch hier für ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höher Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar.

Es ist nicht möglich, beliebig schnelle Eingangssignale wie z. B. beim Eingangssprung, unvertretbar hohe Stellgrößenamplituden zu verwirklichen.

Ist die Regelgröße mit einem nicht zu vernachlässigen Rauschanteil behaftet, muss ein kleines Filter realisiert werden. Deshalb wird der Übertragungsfunktion eine kleine Verzögerung (T1-Glied) zugefügt, deren Zeitkonstante T wesentlich kleiner sein muss als die Zeitkonstanten T1 und T2.

Damit lautet die reale Übertragungsfunktion in Produktdarstellung:

${\frac {U}{E}}{(s)}=K_{PID}{\frac {(T_{1}*s+1)(T_{2}*s+1)}{s*(T_{3}*s+1)}}$

Allgemein kann T1=Tn und T2=Tv umbenannt werden. Die Zeitkonstante T3 wird auch als parasitäre Zeitkonstante bezeichnet. T3<<T1 und T2. Die durch Polynomauflösung entstandenen Zeitkonstanten T1 und T2 sind mit den ursprünglichen Zeitkonstanten Tn, Tv und der Verstärkung miteinander verknüpft.

Um die 4 Einstellparameter unabhängig bedienen zu können, empfiehlt sich die Auslegung in Analogtechnik in Einzelkomponenten, also PI-Regler, PD-Regler und T1-Glied.

Die Beachtung der realen Übertragungsfunktion gilt in erster Linie der Realisierung des Reglers in analoger Technik. Für die Realisierung des PID-Reglers in digitaler Technik, genügt die Anwendung der idealen Übertragungsfunktion, sofern das Messrauschen der Regelgröße – wie in den meisten Fällen - vernachlässigbar ist. Die Sprungantwort des D-Anteils als Stoßfunktion beim quasikontinuierlichen Differenzieren ist ohnehin durch die Abtastzeit und Rechenzeit begrenzt. Es können keine unzulässigen hohen Stellgrößen-Änderungen auftreten.

Zusammenfassung der Eigenschaften des PID-Reglers:

• Er ist von den Standard-Reglern anpassungsfähigsten, hat keine bleibende Regelabwei-chung bei Führungs- und Störgrößensprung und kann 2 Verzögerungen (T1-Glieder) der Regelstrecke kompensieren und damit die Regelstrecke vereinfachen.
• Nachteilig ist durch das I-Glied bedingt, dass eine zusätzlichen Polstelle mit -90 ° Phasenwinkel in dem offenen Regelkreis eingefügt wird, was eine Reduzierung der Kreisverstärkung KPID bedeutet. Deshalb ist der PID-Regler (wie auch der PI-Regler) kein schneller Regler.
• Es gibt nur 3 Einstellparameter, KPID, T1 (bzw. TN), T2 (bzw.TV) des idealen Reglers.
• Er kann eine Regelstrecke mit 3 dominanten Zeitkonstanten von T1-Gliedern regeln, wenn die Kreisverstärkung reduziert wird und die längere Dauer des Einschwingens der Regelgröße auf den Sollwert akzeptiert wird. Dabei kann mit KPID jeder gewünschte Dämpfungsgrad D eingestellt werden, von aperiodisch (D=1) bis schwach gedämpft schwingend (D gegen 0).
• Er kann eine Regelstrecke mit I-Glied und einem T1-Glied optimal regeln.
• Der PID-Regler ist an einer Regelstrecke mit dominanter Totzeit ungeeignet.

Omatauglich?

Dein Text sieht gut aus. Für einen technisch Vorgebildeten ist er verständlich. Es fehlt die Einleitung: Wofür Regler? Technischer Stand heute? Omataugliches Anwendungsbeispiel. Alles sehr kurz. Die meisten Leser haben ein Aha-Erlebnis und sind befriedigt. (Heizkörperthermostat?, Fliehkraftregler?)

Danach Begriffe. Komplexe Frequenz s?

Danach deine Abhandlung, Historie, Ausblick, Verweise

Ansonsten sei mutig.--Kölscher Pitter 11:32, 5. Nov. 2007 (CET)

zu Omatauglich WP:OMA--Ma-Lik ? +/- 16:12, 5. Nov. 2007 (CET)

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Hallo Kölscher Pitter, Hallo Ma-Lik,

danke für die Hinweise. Enzyklopädie bedeutet geordnete Zusammenstellung des gesamten Wissens, aber als omatauglich?

Abgesehen von der Diskriminierung des weiblichen Geschlechtes und des nicht geraden schönen Begriffes habe ich vor ganz kurzer Zeit hier an meinem Schreibtisch mit einer älteren Dame, der pensionierten - Lehrstuhlinhaberin der Universität der Bundeswehr München, Fachrichtung Regelungstechnik - gesessen und einige Ergüsse des Kapitels „Regler“ demonstriert, was gelegentlich zu Kopfschütteln führte. Ich will damit sagen, für die Darstellung des Fachwissens gibt es keine Norm des Begreifens.

Mein Vorschlag zu der Verständlichkeit der Darstellung des Kapitels „Regler“ für folgende Interessierte:

• Studenten in den ersten Semestern,
• Ingenieure mit einigen Jahren Berufspraxis ohne regelungstechnische Erfahrungen,
• evt. clevere Techniker, die wissen, was eine Differentialgleichung ist.

Dieser Gruppe empfehle ich ein über diesen Stoff hinaus gehendes Fachbuch zu erwerben: z.B. „Regelungstechnik für Ingenieure“ von Manfred Reuter / Serge Zacher, 11. Auflage 2004.

Weitere angesprochene Punkte:

• Wofür Regler: in der Einleitung steht: Regler wirken auf die Regelgröße, im Kapitel 1. „Einführung und Übersicht“ steht wo. Mir gefällt die Aufteilung der Einführung in 2 Einlei-tungskapitel auch nicht, ich will aber nicht alles in Frage stellen.
• Komplexe Frequenz s = Sigma + j * Omega, dazu muss der künftige Link „Laplace-Transformation“ betätigt werden. Das Kapitel ist OK. Ist es omatauglich?
• Technischer Stand: unklare Frage, im Hauptkapitel „Regelungstechnik“ gibt es eine große Menge von Definitionen aus der Regelungstechnik.
• Rest Fragen: mach doch einfach ausgearbeitete Vorschläge, die man an der richtigen Stelle meines Konzeptes einarbeiten kann!--HeinrichKü 15:17, 6. Nov. 2007 (CET)

Ich präzisiere den Jargon-Begriff "omatauglich": Nicht für die, die es sowieso schon wissen. Bei dem heutigen Zeitgeist muss man zufügen: in deutscher Sprache (so wenig englische Fachausdrücke wie möglich). Keine verschachtelten Sätze. Und das alles nur, weil wir Oma lieben und nicht dumm sterben lassen wollen. Deine Definition ist auch ok.

Beruflich hatte ich viel mit Mess- und Regeltechnik zu tun. Daher löst bei mir Komplexe Frequenz s = Sigma + j * Omega, Link „Laplace-Transformation“ einen Klickeffekt aus. Ich lese dann nicht weiter.--Kölscher Pitter 16:01, 6. Nov. 2007 (CET)

PS. s = iω = $\int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.$ Kein Laplace und kein Fourier. Die Sipart-Regler von Siemens waren gut: einbauen und vergessen.--Kölscher Pitter 17:21, 6. Nov. 2007 (CET)

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Ich habe jetzt einen Teil der hier gemachten Änderungsvorschläge in etwas angepasster Form umgesetzt. Allerdings würde ich die ganzen Laplace Erläuterungen wesentlich kürzen, da es dafür den Artikel Laplace-Transformation gibt. Wie stehst du dazu? Ach ja wenn dir Anpassungen nicht gefallen haben, dann schreibe doch kurz warum und wir können die Sache dann diskutieren --Ma-Lik ? +/- 13:43, 8. Nov. 2007 (CET)

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Wenn du das Einführungskapitel meinst, dass enthält nur die Begriffe Übertragungsfunktion und Frequenzgang. Die sind äußerst wichtig. Wenn Du die von mir definierten komprimierten Regeln der Laplace-Transformation in Verbindung mit dem Beispiel meinst, darüber kann man reden. Das Ergebnis des Beispiels ist aber sehr wichtig. Wer den mathematischen Hintergrund nicht hat, wird das unter dem Link Laplace-Transformation nicht verstehen. Vielleicht kannst Du einfach alles kopieren. Man kann es später noch herausnehmen, wenn noch andere meinen, dass das zuviel Formeln sind.

Im 1. Satz des Einführungskapitel fehlt "zu vergleichen". Lese bitte meinen Vorschlag über die von Kölscher Pitter verursachten Änderungswünsche bezüglich Allgemein-Definition Regler in der Diskussionsseite Regler. Du kannst die fehlenden Worte einfügen und mal einen Tag warten, ob von anderer Seite Wünsche kommen.--HeinrichKü 18:07, 8. Nov. 2007 (CET)

Ich meinte die komprimierten Regeln. Es ist klar das zum Verständnis der Regelungstechnik die Laplace Transformation bekannt seien sollte. Allerdings kann man nicht in jedem Artikel in dem diese angewandt wird, diese wieder neu erläutern. Da sollte normalerweise ein Verweis (Wikilink) auf die entsprechenden Artikel reichen. Wenn diese unverständlich sind oder dort Anwendungen fehlen, so ist das dort und nicht im verweisenden Artikel zu ergänzen.--Ma-Lik ? +/- 18:53, 8. Nov. 2007 (CET)

OK, die 4 Gleichungen der Laplace-Transformierten können weggelassen werden und der Satz darüber.--HeinrichKü 19:36, 8. Nov. 2007 (CET)

Aufräumen der Diskussionsseite

Moin,
da durch die Artikelarbeit deine Diskussionsseite sehr unübersichtlich ist, würde ich vorschlagen diese auf Benutzer:HeinrichKü/Testgelände (einfach unter verschieben Benutzer:HeinrichKü/Testgelände angeben) zu verschieben, dann könnte man auch die Diskussionsbeiträge zum Artikel vom Vorschlag getrennt werden. Zudem könnte ich dann auch Regler Diskussion wieder aufräumen und Teile (meines Beitrages) hier her verschieben (Infos zum generellen Stand der Regelungstechnik, Bearbeitungen, Tipps usw.). Was hältst du davon? Wenn du dir das nicht zutraust kann ich das auch übernehmen. Allerdings ist das deine Diskussionsseite und wenn du das nicht möchtest werde ich das akzeptieren.--Ma-Lik ? +/- 17:05, 15. Nov. 2007 (CET)

Hallo HeinrichKü, ich habe auf meiner Diskussionseite einige Deiner Fragen beantwortet.--JBerger 18:19, 9. Jan. 2008 (CET)

Hallo HeinrichKü, hier einige Bemerkungen als Diskussionsvorschlag zum Artikel "Regler"

Der Begriff des Regelns wird nicht nur für den Vorgang sondern auch für das Gerät verwendet. In DIN 19226 "Regelungstechnik und Steuerungstechnik; Begriffe und Benennungen" wird definiert: "Das Regeln, die Regelung, ist ein Vorgang, bei dem eine Göße, die zu regelnde Größe (Regelgröße), fortlaufend erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst." Und daraus abgeleitet ist der Regler eine Funktionseinheit welche die Aufgabe der Regelung ausführt.

Der Artikel kann dann eine Klassifizierung der Regler nach

• elektronisch, pneumatisch, hydraulisch
• Algorithmus (PID, Zustandsregler, Fuzzy,.....) mit Link auf Hauptartikel zu diesen *Reglern. Zustandsregler und Fuzzy-Regler existieren bereits. Bedürfen aber noch einer Überarbeitung.
• Analog, digital
• Linear, nichtlinear
• Struktur (Ein- oder Mehrgrößenregler, Kaskadenregler,....)

usw. vornehmen.--JBerger 15:57, 30. Jan. 2008 (CET)

Weitere Bemerkungen zum Abschnitt PID-Regler:

Wichtig ist, dass in beiden Fällen die Definition der Nachstellzeit Tn und Vorhaltezeit Tv übereinstimmt und letztlich das gleiche Ergebnis erreicht wird.

Falsch. Es gibt Tna, Tva für additive Struktur und Tnm, Tvm für multiplikative Struktur. Beide können ineinander umgerechnet werden.

Bei der reinen Parallelstruktur ist es deshalb notwendig, dass das I-Glied und das PD-Glied mit der Verstärkung Kp multipliziert wird.

Falsch ist deshalb notwendig (warum?),und das PD-Glied ist nur ein D-Glied.

Differentialgleichung

Das ist keine DGL sondern eine Integro-Differentialgleichung.

ein kleines Filter

Was ist ein kleines Filter?

Allgemein kann T1=Tn und T2=Tv umbenannt werden

Das ist Unfug.

Die Sprungantwort als Stoßfunktion beim quasikontinuierlichen Differenzieren ist ohnehin durch die Abtastzeit und Rechenzeit begrenzt. Es können keine unzulässigen hohen Stellgrößen-Änderungen auftreten.

Der letzte Satz ist Unfug.

Derartige Fehler und Ungenauigkeiten sind in fast allen Abschnitten enthalten. Zum PID-Regler verfasse ich einen separaten Artikel. In diesem werden auch alle daraus ableitbaren Regler behandelt.--JBerger 13:25, 1. Feb. 2008 (CET

Mein Kommentar zu der unfreundlichen Kritik nach Gutsherrenart:

1. Zu PID-Regler: Parallel- Reihenstruktur: Wichtig ist, dass Tn und Tv in beiden Fällen übereinstimmt…… Bei der reinen Parallelstruktur ist es deshalb notwendig, dass das I-Glied und das PD-Glied (es muss heißen D-Glied) mit der Verstärkung Kp multipliziert wird.

Kommentar: Es gibt mehrere Formen der Darstellung der Übertragungsfunktion des PID-Reglers. Z.B.

Xa(s)/Xe(s) = Kp + Ki/s + KD*s, mit Tn = Kp / Ki; und Tv = KD / Kp

Xa(s)/Xe(s) = Kp(1 + 1 /(Tn*s) + Tv*s)

Um die Darstellung der Übertragungsfunktion des PID-Reglers nicht unnötig zu verkomplizieren, kann der Satz „Wichtig ist, dass Tn und Tv in beiden Fällen ….“ fortgelassen werden.

Die Bedeutung der Begriffe Nachstellzeit Tn und Vorhaltezeit Tv ist genormt und stehen in jedem Fachbuch. Eine andere Definition gibt es meines Wissens nicht. Die beiden Zeitkonstanten beziehen sich auf die Summendarstellung. Es gibt natürlich Umrechnungsverfahren für die Kennwerte, um aus der Produktdarstellung in die Summendarstellung und umgekehrt zu kommen.

2. Was ist ein kleines Filter

Das geht klar aus dem folgenden Text mit der Übertragungsfunktion hervor, Benennung parasitäre Zeitkonstante mit Definition T <<...

3. Allgemein kann T1=Tn und T2=Tv unbenannt werden. Kommentar: Unsinn

Mein Kommentar: Die Produktdarstellung des PID-Reglers zeigt neben der Verstärkung 2 PD-Glieder und ein I-Glied. Die Polynomauflösung mit den Zeitkonstanten T1 und T2 entspricht natürlich nicht den Zeitkonstanten Tn und Tv, aus denen das Polynom entstanden ist.

Für die Auslegung eines Regelkreises ist die Realisierung eines PID-Reglers in Parallelstruktur nicht günstig, weil die Zeitkonstanten des aufgelösten Polynoms T1 und T2 nicht frei wählbar sind, sondern mit Kp, Tn und Tv verknüpft sind.

Besser geeignet für die Auslegung eines Regelkreises ist die Reihenschaltung eines PI-Reglers und eines PD-Gliedes (= PID-Regler). Die allgemeine Form dieser Übertragungsfunktion ist:

Xa(s)/ Xe(s)= Kp *(Tn‘*s+1)/(Tn‘*s)*(Tv‘*s+1); K_PID = Kp / Tn‘

Die Zeitkonstanten Tn‘ und Tv‘ haben sich entsprechend der Definition des PI-Reglers und des PD-Gliedes ergeben, sie entsprechen aber nicht der Definition der Nachstellzeit und Vorhaltezeit bzw. der Parallelstruktur eines PID-Reglers. Wenn das z.B. zu Vergleichszwecken mit einem PID-Regler in Parallelstruktur wichtig ist, müssen diese Zeitkonstanten Tn und Tv zurückgerechnet werden.

4. Die Sprungantwort als Stoßfunktion beim quasikontinuierlichen Differentieren Komment.: Unfug

Kommentar: Die 2 Worte "des D-Anteils" sind verloren gegangen. Es muss heißen, so wie auch beim D-Glied und PD-Glied es definiert worden ist: „Die Sprungantwort des D-Anteils als Stoßfunktion beim quasikontinuierlichen Differenzieren ist ohnehin durch die Abtastzeit und Rechenzeit begrenzt". --HeinrichKü 19:29, 2. Feb. 2008 (CET)

Hallo HeinrichKü, mit meiner Kritik wollte ich Dir keineswegs zu nahe treten. Zumal wir ja in wesentlichen Punkten übereinstimmen. Die "Oberlehrer-Mentalität" ist nicht gewollt, aber der Eindruck kann durchaus entstehen. Ich werde mich in Zukunft bemühen, das abzustellen (ohne jedoch auf Kritik zu verzichten) und bin nach wie vor an einer Zusammenarbeit mit Dir interessiert.--JBerger 13:17, 10. Feb. 2008 (CET)

Benutzer:HeinrichKü/Entwurf „lineare Standard-Regler“

Hallo HeinrichKü, ich habe den Entwurf aus dem Artikelnamensraum in den Benutzernamensraum nach Benutzer:HeinrichKü/Entwurf „lineare Standard-Regler“ verschoben, weil er sonst gelöscht worden wäre. Gruß --Update 13:38, 12. Feb. 2008 (CET)