Satz von Girsanow

[[Image:Girsanov.png|thumb|400px|Visualisierung des Satzes von Girsanov — Die linke Seite zeigt einen Wiener-Prozess mit 30 Pfaden mit negativem Drift unter dem kanonischen Wahrscheinlichkeitsmaß P, auf der rechten Seite sieht man die gleichen Pfade unter dem äquivalenten Martingalmaß Q. Der Maßwechsel von P nach Q wird durch den Satz von Girsanov ermöglicht.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird dieser Satz benutzt um stochastische Prozesse zu verändern. Dies passiert mithilfe eines Maßwechsels von dem kanonischen Maß P zum äquivalenten Martingalmaß Q. Dieser Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin und danach 1960 von Girsanov bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz

Sei $\{\Omega ,{\mathcal {F}},P,\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{0\leq t\leq T}\}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses $({B}_{t}),t\in T$. Sei $(\theta _{t})_{0\leq t\leq T}$ ein adaptierter Prozess so dass gilt :$\int _{0}^{T}\theta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s<\infty$ P-f.s. und so dass der Prozess $(L_{t})_{0\leq t\leq T}$ definiert durch:

$L_{t}=\exp \left(-\int _{0}^{t}\theta _{s}\mathrm {d} B_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\theta _{s}\mathrm {d} s\right)$

ein Martingal ist.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P^{(L)}$ mit der Dichte $L_{T}$ bezüglich P dass der Prozess $(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ definiert durch $W_{t}=B_{t}+\int _{0}^{t}\theta _{s}\mathrm {d} s$ ein standardisierter Wiener-Prozess ist.

mit ${\mathcal {E}}(X)$ das exponentielle Martingal von X bezüglich W, d.h.

${\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right).$

Wenn $Z_{t}$ ein Martingal ist, dann lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf $\{\sigma ,F\}$ definieren, so dass für die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:

$\left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}$

Dann ist für jedes t das Maß Q (restricted to the unaugmented σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{t}^{o}$) äquivalent zu P (restricted to σ-Algebra

${\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,$).

Ferner gilt: Wenn Y ein lokales Martingal unter P ist, dann ist der Prozess

${\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[W,X\right]_{t}$

ein lokales Q-Martingal auf dem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $\{\Omega ,F,Q,\{F_{t}^{W}\}\}$.

Korollar

Wenn X ein stetiger stochastischer Prozess und W ein P-Wienerprozess ist, dann ist

${\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}$

Q-Wiener-Prozess.

The fact that ${\tilde {W}}_{t}$ is continuous is trivial; by Girsanov's theorem it is a Q local martingale, and by computing

$\left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t$

it follows by Levy's characterization of Brownian Motion that this is a Q Brownian Motion.

Comments

In many common applications, the process X is defined by

$X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.$

For X of this form then a necessary and sufficient condition for X to be a martingale is Novikov's condition which requires that

$E_{P}\left[\exp \left(\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .$

The stochastic exponential ${\mathcal {E}}(X)$ is the process Z which solves the stochastic differential equation

$Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dY_{s}.\,$

The measure Q constructed above is not equivalent to P on ${\mathcal {F}}_{\infty }$ as this would only be the case if the Radon-Nikodym derivative were a uniformly integrable martingale, which the exponential martingale described above is not (for $\lambda \neq 0$).

Application to finance

This theorem can be used to show in the Black-Scholes model the unique risk neutral measure, i.e. the measure in which the fair value of a derivative is the discounted expected value, Q, is specified by

${\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).$

see also

Cameron-Martin theorem

References

• C. Dellacherie and P.-A. Meyer, "Probabilités et potentiel -- Théorie de Martingales" Chapitre VII, Hermann 1980
• E. Lenglart "Transformation de martingales locales par changement absolue continu de probabilités", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit 39 (1977) pp 65-70.

External links

• Notes on Stochastic Calculus which contains a simple outline proof of Girsanov's theorem.