GHZ-Experiment

Der GHZ-Zustand, benannt nach den Physikern Greenberger, Horne und Zeilinger, ist ein Zustand aus drei verschränkten Teilchen, mit dem man das EPR-Paradoxon zeigen kann, ohne auf viele statistische Messungen zurückgreifen zu müssen, wie bei den Bellschen Ungleichungen.

Ausführlich

Der Versuch mit dem GHZ-Zustand verdeutlicht ohne statistische Messreihen, nur mit vier Messungen, dass es keine versteckten Variablen in der Quantenmechanik gibt. Einstein, dem die ganze Quantenmechanik zuwiderlief, schuf den berühmten Spruch: "Gott würfelt nicht." Er bezog diesen Satz auf die offensichtliche Unmöglichkeit von verschränkten Zuständen.

Zwei Teilchen werden gemeinsam in einem verschränkten Zustand erzeugt und fliegen auseinander. Diese Teilchen besitzen nur zwei mögliche Zustände, $|0\rangle$ und $|1\rangle$. Wird nun der Zustand des einen Teilchens gemessen (z.B. $|1\rangle$), weiß man, dass das andere Teilchen sich im jeweils anderen Zustand befindet (also $|0\rangle$). Einstein behauptete, dass diese Eigenschaften der Teilchen schon vorher festgelegt waren, bevor man die Messungen durchgeführt hat. Die Quantenmechanik beschreibt diese beiden Teilchen als eine einzige Wellenfunktion, die für beide Teilchen beide Zustände gleich wahrscheinlich macht. Erst durch Beobachten, durch eine Messung, kollabiert diese Wellenfunktion, und je nach dem, welcher Zustand bei einem Teilchen gemessen wurde, weiß man nun exakt den Zustand des anderen Teilchens.

Keine der beiden Interpretationen lässt sich mit nur zwei verschränkten Teilchen in einem Experiment beweisen. 1964 fand John Bell aber ein Ungleichungssystem (Bellsche Ungleichung), welches bei unendlich vielen Messungen eine statistisch exakte Lösung dieses Dilemmas liefert. Aber unendlich viele Messungen sind ein Ding der Unmöglichkeit und so blieben die Zweifler am zweifeln.

1989 schlugen Greenberger, Horne und Zeilinger einen Zustand aus drei verschränkten Teilchen vor, an dem vier Messungen genügen, um die Korrektheit der Quantenmechanik zu zeigen und die versteckten Variablen ins Reich der Fantasie zu verbannen. Und zehn Jahre später wurde das Gedankenexperiment in einem Labor zum Leben erweckt. 1999 wurden Einsteins Zweifel widerlegt und gezeigt, das verschränkte Zustände sich gegenseitig über theoretisch unendliche Entfernungen hinweg beeinflussen - mit "Überlichtgeschwindigkeit" (Nature, 403, S.515 (03.02.2000)).

Der GHZ-Zustand besteht aus drei verschränkten Teilchen im Zustand:

$|\psi \rangle =|+++\rangle -|---\rangle$

wobei hier $|+\rangle$ Spin-up und $|-\rangle$ Spin-down bedeute. $\sigma _{x,y}$ seien die beiden ersten Pauli-Matrizen, aus denen sich folgende vier Messungen im Hilbertraum der drei Teilchen zusammensetzten:

${\hat {A}}_{1}=\sigma _{x}^{1}\sigma _{y}^{2}\sigma _{y}^{3}$

${\hat {A}}_{2}=\sigma _{y}^{1}\sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{3}$

${\hat {A}}_{3}=\sigma _{y}^{1}\sigma _{y}^{2}\sigma _{x}^{3}$

${\hat {B}}=\sigma _{x}^{1}\sigma _{x}^{2}\sigma _{x}^{3}$

Berechnet man die Messergebnisse, erhält man:

${\hat {A}}_{1,2,3}|\psi \rangle =|\psi \rangle \quad \Rightarrow \quad$Eigenwert dieser Messungen ist 1.

${\hat {B}}|\psi \rangle =-|\psi \rangle \quad \Rightarrow \quad$ Eigenwert dieser Messungen ist -1.

Aber multipliziert man die drei Messungen ${\hat {A}}_{i}$ miteinander, führt also die drei Messungen hintereinander aus, erhält man:

$\sigma _{x}^{1}\sigma _{y}^{2}\sigma _{y}^{3}=1$

$\sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{1}\sigma _{y}^{3}=1$

$\sigma _{x}^{3}\sigma _{y}^{1}\sigma _{y}^{2}=1$

---

$\sigma _{x}^{1}\sigma _{x}^{2}\sigma _{x}^{3}=1$

denn die $\sigma _{y}$ sind nichts anderes als Spin-Flips, und heben sich zu 1 weg. Das heißt, das Messergebnis von ${\hat {B}}$ steht nicht von vorneherein fest, sondern wird erst durch die vorhergehenden Messungen festgelegt!!