Galerkin-Methode
Die Galerkin-Methode (nach Boris Galerkin) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung von partiellen Differentialgleichungen und zählt zur "Methode der gewichteten Residuen", bei der das resultierende Residuum einer Näherungslösung minimiert wird.
Die gebräuchlichste Variante der Methode der gewichteten Residuen ist die nach Galerkin (1915) benannte Galerkin-Methode, auch Galerkin-Verfahren oder Galerkin-Ansatz genannt. Deshalb wird der Ausdruck "Methode der gewichteten Residuen" meist synonym mit "Galerkin-Methode" benutzt. Es gibt aber auch noch andere Varianten der Methode der gewichteten Residuen.
Das Residuum ist in dem betrachteten verteilt. Es wird mit geeigneten Wichtungsfunktionen gewichtet, daher der Ausruck "gewichtete Residuen". Das Integral des über dem Gebiet gewichteten Residuums soll möglichst klein sein oder besser noch ganz verschwinden. Die Wichtungsfunktionen haben Parameter, deren Anzahl der Zahl der Freiheitsgrade des Systems entspricht. Diese führen zu genausovielen Gleichungen und damit zu dem gleichen großen Gleichungssystem, das aus der Finite-Elemente-Methode bekannt ist. Bei der Galerkin-Methode sind die Wichtungsfunktinen identisch mit den Ansatzfunktionen in den Elementen.
Die Galerkin-Methode ist anwendbar, wenn kein natürliches Extremalprinzip für die Lösung der Differentialgleichung existiert. Sie ist somit eine Grundlage der Finite-Elemente-Methode und dehnt deren Anwendbarkeit auf weitere physikalische Problemstellungen (Kontinuumsprobleme) aus, die ein solches natürliches Extremalprinzip nicht besitzen. Beispiele dafür sind stationäre oder instationäre Strömungen und Wärmeleitungsprobleme. Ein natürliches Extremalprinzip (natürliches Variationsprinzip) existiert dagegen z. B. bei mechanischen Problemen der Festkörpermechanik, bei denen der Energieinhalt ein Minimum haben muss.
Nach Zienkiewicz ist die Galerkin-Lösung identisch mit einer natürlichen Variationslösung oder lässt sich zumindest so interpretieren. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein spezielles Ritz-Galerkin-Verfahren.
Weiterführende Literatur
- O. C. Zienkiewicz: Methode der Finiten Elemente (The Finite Element Method) 1977
- H. R. Schwarz: Methode der Finiten Elemente, Stuttgart 1984