Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung lautet

${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla {\vec {u}}=0$ oder ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho {\vec {u}})=0$

mit

$t$ = Zeit

$\rho$ = Dichte

${\vec {u}}$ = Geschwindigkeit

Die Kontinuitätsgleichung beschreibt das Verhalten der Dichte in einem Volumenelement. Sie setzt sich zusammen aus der zeitlichen Änderung der Dichte im gesamten Volumenelement:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}dxdydz$

und dem Zu- und Abfluss in das Volumen, hier nur für die $x$-Richtung, analog in $y$- und $z$-Richtung:

$\underbrace {dydz(\rho u)} _{\mbox{Zufuhr}}-\underbrace {\left[\rho u+{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}dx\right]dydz} _{\mbox{Abfluss}}={\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\partial x\partial y\partial z$

damit ergibt sich für die Änderung der Dichte im Volumenelement insgesamt:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\partial x\partial y\partial z+\left({\frac {\partial \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho w}{\partial z}}\right)\partial x\partial y\partial z=0$

oder, denn ${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {u}}\nabla {\rho }$ und $\nabla \cdot ({{\vec {u}}\rho })={\vec {u}}\nabla {\rho }+\rho \nabla {\vec {u}}$ (siehe Rechenregeln für Nabla-Operator):

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {u}}\nabla {\rho }+\rho \nabla {\vec {u}}={\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla {\vec {u}}=0$

Ihre Hauptaussage ist, dass die Quelle eines Flusses von Objekten die zeitliche Änderung ihrer Dichte ist.

Sie findet Anwendung in der Quantenmechanik, Elektrodynamik, Fluiddynamik und vielen anderen Bereichen der Physik.

In der Fluiddynamik bedeutet sie, dass die Divergenz (Mathematik) des Geschwindigkeitsvektorfeldes die zeitliche Änderung der Dichte ist, also hinreichend genau null in Flüssigkeiten und (im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit) langsam strömenden Gasen. Anschaulich ausgedrückt: Eine Flüssigkeit oder ein Gas kann nur so strömen, dass ein Volumenelement, das stets aus denselben Teilchen besteht, seine Masse beibehält.