Laplace-Runge-Lenz-Vektor

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor (in der Literatur auch Runge-Lenz-Vektor, Lenz-Runge-Vektor etc., nach Pierre-Simon Laplace, Carl Runge und Heinrich Friedrich Emil Lenz) ist eine Erhaltungsgröße der Bewegung im $V(r)=-\alpha /r$-Potenzial (Coulomb-Potenzial, Gravitationspotenzial).

Er ist definiert als

${\vec {A}}={\vec {p}}\times {\vec {L}}-m\alpha {\frac {\vec {r}}{r}}$

mit

• ${\vec {p}}$: Impuls des Körpers
• ${\vec {L}}$: Drehimpuls des Körpers
• $m$: Masse des Körpers
• $\alpha$: Proportionalitätskonstante des Potenzials, $\gamma mM$ für Kepler, $q_{1}q_{2}/(4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r})$ für Coulomb
• ${\vec {r}}$: Ortsvektor des Körpers
• $r=\left|{\vec {r}}\right|$: Betrag des Ortsvektors

und ermöglicht die elegante Herleitung der Bahnkurve $r(\varphi )$ eines Teilchens (z.B. Planet im Keplerproblem, Elektron im Wasserstoffatom), worauf die resultierende Kraft eines solchen Potenzials wirkt.

Beweis der Erhaltung

Die totale Zeitableitung des Runge-Lenz-Vektors muss verschwinden. Man erhält:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}={\dot {\vec {p}}}\times {\vec {L}}+{\vec {p}}\times {\dot {\vec {L}}}-m\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)$

In diesem System haben wir Isotropie. Daher gilt die Drehimpulserhaltung : ${\dot {\vec {L}}}=0$.

Das Potential V erzeugt eine (konservative)Kraft nach ${\vec {F}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}}}=\alpha {\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}={\dot {\vec {p}}}$ Der Drehimpuls ist definiert mit: ${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\dot {\vec {r}}}$
Somit erhält man:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}={\dot {\vec {p}}}\times \left({\vec {r}}\times m{\dot {\vec {r}}}\right)+{\vec {p}}\times {\vec {0}}-m\alpha \left({\frac {\dot {\vec {r}}}{r}}-{\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}}{r^{2}}}\right)$
$=-{\frac {\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}\times \left({\vec {r}}\times m{\dot {\vec {r}}}\right)+{\vec {0}}-m\alpha \left({\frac {\dot {\vec {r}}}{r}}-{\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}r}{r^{3}}}\right)$

Nun kann man die bac-cab-Regel anwenden. Diese lautet ($\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ist das Skalarprodukt):
$a\times (b\times c)=b\langle c,a\rangle -c\langle b,a\rangle$
Somit erhalten wir:
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}=-{\frac {m\alpha }{r^{3}}}\left({\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}{\vec {r}})-{\dot {\vec {r}}}({\vec {r}}{\vec {r}})\right)-m\alpha \left({\frac {\dot {\vec {r}}}{r}}-{\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}r}{r^{3}}}\right)$
$=-{\frac {m\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}{\vec {r}})+{\frac {m\alpha }{r^{3}}}{\dot {\vec {r}}}(r^{2})-m\alpha {\frac {\dot {\vec {r}}}{r}}+m\alpha {\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}r}{r^{3}}}$
$=-{\frac {m\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}{\vec {r}})+m\alpha {\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}r}{r^{3}}}$

In Polarkoordinaten, $(\rho ,\phi )$, dargestellt lässt sich das Skalarprodukt ${\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}$ stark vereinfachen:

${\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}=({\dot {\rho }}{\hat {\mathbf {\rho } }}+\rho {\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}})\cdot \rho {\hat {\mathbf {\rho } }}={\dot {\rho }}\rho .$
Auf unsere Notation übertragen:
${\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}=r{\dot {r}}.$
Damit lässt sich zeigen, dass sich der Rest aufhebt:
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}=-{\frac {m\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}{\dot {r}}r+m\alpha {\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}r}{r^{3}}}$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}={\vec {0}}$
Da sich der Wert des Laplace-Runge-Lenz-Vektors über die Zeit folglich nicht ändert, muss er konstant sein.

Herleitung der Bahnkurve

Hierfür ist normalerweise eine aufwändige Integration mit mehreren Substitutionen nötig, aus der Multiplikation des Runge-Lenz-Vektors mit ${\vec {r}}$ folgt nun aber einfach nach der Kosinusbeziehung des Skalarprodukts (pfeillose Buchstaben kennzeichnen stets die Beträge des zugehörigen Vektors):

${\vec {A}}\cdot {\vec {r}}=Ar\cos \varphi ={\vec {r}}\cdot \left({\vec {p}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha r={\vec {L}}\cdot \left({\vec {r}}\times {\vec {p}}\right)-m\alpha r=L^{2}-m\alpha r$

Hierbei wurde die Zyklizität des Spatproduktes sowie die Drehimpulsdefinition genutzt. $\varphi$ bezeichnet den Winkel zwischen Runge-Lenz- und Ortsvektor.

Man kann das noch ein wenig umschreiben und erhält dadurch die typische Kegelschnittgleichung in Polarkoordinaten:

$r=-{\frac {L^{2}/(m\alpha )}{1+\epsilon \cos \varphi }}$

Dabei ist $\epsilon =A/m\alpha$ die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts, die die Bahnform Kreis ($\epsilon =0$), Ellipse ($0<\epsilon <1$), Parabel ($\epsilon =1$) oder Hyperbel ($\epsilon >1$) bestimmt.

Eigenschaften

• Der Runge-Lenz-Vektor liegt in der Bahnebene, denn er steht senkrecht zum Drehimpulsvektor, der dessen Normale ist:

${\vec {L}}\cdot {\vec {A}}={\vec {L}}\cdot \left({\vec {p}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha {\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {r}}}{r}}={\vec {p}}\cdot \left({\vec {L}}\times {\vec {L}}\right)-m\alpha {\frac {\left({\vec {r}}\times {\vec {p}}\right)\cdot {\vec {r}}}{r}}=0$

• Der Runge-Lenz-Vektor zeigt zum Perihel, d.h. zentrumnächsten Punkt der Bahn. Dies folgt sofort aus obiger Bahngleichung, da $\varphi$ den Winkel zwischen Orts- und Runge-Lenz-Vektor darstellt und $r$ minimal ist für maximalen Nenner, d.h. $\cos \varphi =1\Rightarrow \varphi =0$.

• Der Runge-Lenz-Vektor hat als Betrag das $m\alpha$-fache der numerischen Exzentrizität der Bahnkurve. Dies wurde bereits bei der Herleitung derselben gezeigt.

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