aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Gerade durch den O-Punkt schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (circulären) Funktionen. Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel "gehandelt". Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen , auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoid (Kettenlinie) bezeichnet.
Definition
sinh
x
=
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
=
−
i
sin
i
x
{\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-i\sin ix}
cosh
x
=
1
2
(
e
x
+
e
−
x
)
=
cos
i
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cos ix}
Eigenschaften
Graph der Funktion sinh(x) Graph der Funktion cosh(x)
Sinus Hyperbolicus
Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty }
1
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 1\leq f(x)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
x ≤ 0 streng monoton fallend
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Ursprung
Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
a
1
(
x
)
=
1
2
e
x
{\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ x}}
a
1
(
x
)
=
1
2
e
x
{\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ x}}
a
2
(
x
)
=
−
1
2
e
−
x
{\displaystyle a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{\ -x}}
a
2
(
x
)
=
1
2
e
−
x
{\displaystyle a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ -x}}
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
keine
Minimum bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Wendepunkte
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man "Areasinus Hyperbolicus "
a
r
s
i
n
h
(
x
)
:=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\rm {arsinh}}(x):=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man "Areakosinus Hyperbolicus ".
a
r
c
o
s
h
(
x
)
:=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\rm {arcosh}}(x):=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
Ableitung
Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:
d
d
x
sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh(x)=\cosh(x)}
d
d
x
cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\cosh(x)=\sinh(x)}
Integral
∫
sinh
(
x
)
d
x
=
cosh
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C}
∫
cosh
(
x
)
d
x
=
sinh
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C}
Reihenentwicklung
Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus lautet:
sinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
1
6
x
3
+
1
120
x
5
+
⋯
{\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}+\cdots }
cosh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
+
x
4
24
+
.
.
.
{\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+...}
Produktentwicklung
Kosinus Hyperbolicus:
cosh
(
x
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
+
4
x
2
(
2
k
−
1
)
2
π
2
)
{\displaystyle \cosh(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)}
Komplexes Argument
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
⋅
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cdot \cosh(x)\sin(y)}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
sinh
(
i
x
)
=
i
⋅
sin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (ix)=i\cdot \sin(x)}
cosh
(
i
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (ix)=\cos(x)}
Weiteres
f
(
x
)
=
a
⋅
sinh
(
x
)
+
b
⋅
cosh
(
x
)
{\displaystyle f(x)=a\cdot \sinh(x)+b\cdot \cosh(x)}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
Differentialgleichung
f
″
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f''(x)-f(x)=0}
Außerdem gilt der Zusammenhang
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {cosh} ^{2}x-\operatorname {sinh} ^{2}x=1}
x
{\displaystyle x}
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
cosh
(
2
x
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} ^{2}x+\operatorname {sinh} ^{2}x=\operatorname {cosh} (2x)}
oder
2
cosh
2
x
=
1
+
cosh
(
2
x
)
{\displaystyle 2\operatorname {cosh} ^{2}x=1+\operatorname {cosh} (2x)}
Teile_und_herrsche_%28Informatik%29
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}
insbesondere gilt für x=y:
sinh
2
x
=
2
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}
Sonstiges
Ein homogenes Seil das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus Hyperbolicus - Funktion beschrieben werden. Für nähere Angaben siehe Katenoide .
Siehe auch
Vorlage:Navigationsleiste Hyperbolische Funktionen
